Số nguyên

Cấu trúc đại số → lý thuyết nhóm
Lý thuyết nhóm

Thuật ngữ cơ bản

Bạn đang xem: số nguyên là số gì

Nhóm con
Nhóm con cái chuẩn chỉnh tắc

Nhóm thương
Tích trực tiếp
Tích nửa trực tiếp

Đồng cấu nhóm

hạt nhân
ảnh
tổng trực tiếp

tích bện
đơn
hữu hạn

vô hạn
liên tục
nhân

cộng tính
cyclic
giao hoán
nhị diện

lũy linh
giải được
tác động

Từ vựng sử dụng vô lý thuyết nhóm
Danh sách những chủ thể vô lý thuyết nhóm

Nhóm hữu hạn

Phân loại group đơn hữu hạn
cyclic thay phiên dạng Lie sporadic
định lý Cauchy định lý Lagrange Định lý Sylow Định lý Hall p-nhóm Nhóm abel sơ cấp Nhóm Frobenius Nhân tử Schur
Nhóm Mathieu M₁₁ M₁₂ M₂₂ M₂₃ M₂₄ Nhóm Conway Co₁ Co₂ Co₃ Nhóm Janko J₁ J₂ J₃ J₄ Nhóm Fischer F₂₂ F₂₃ F₂₄
nhóm đối xứng S_n Nhóm tứ Klein V Nhóm nhị diện D_n Nhóm Quaternion Q Nhóm Dicyclic Dic_n

Nhóm tách rạc
Lưới

Số nguyên vẹn ()
Nhóm tự động do

Nhóm tế bào đun

PSL(2, )
SL(2, )

Nhóm số học
Lưới
Nhóm hyperbolic

Tô pô và group Lie

Solenoid
Đường tròn

Tuyến tính tổng quát lác GL(n)

Tuyến tính quan trọng đặc biệt SL(n)

Trực kí thác O(n)

Euclid E(n)

Trực kí thác quan trọng đặc biệt SO(n)

Unita U(n)

Unita quan trọng đặc biệt SU(n)

Symplectic Sp(n)

G₂
F₄
E₆
E₇
E₈

Lorentz
Poincaré
Bảo giác

Vi đồng phôi
Vòng

Nhóm Lie vô hạn chiều

O(∞)
SU(∞)
Sp(∞)

Nhóm đại số

Nhóm đại số tuyến tính

Nhóm khả quy

Đa tạp kí thác hoán

Đường cong elliptic

Trong toán học tập, số nguyên được khái niệm một cơ hội phổ biến là một vài rất có thể được ghi chép nhưng mà không tồn tại bộ phận phân số. Ví dụ: 21, 4, 0 và −2048 là những số nguyên vẹn, trong những lúc 9,75, 5 1/2 và ko nên là số nguyên vẹn.

Tập ăn ý những số nguyên vẹn bao hàm 0, những số đương nhiên dương (1, 2, 3,...), còn được gọi là số đếm,^[1]^[1] và những nghịch ngợm hòn đảo quy tắc nằm trong của bọn chúng (là những số nguyên vẹn âm, tức là, −1, −2, −3, ...). Tập ăn ý những số nguyên vẹn thông thường được biểu thị bằng văn bản in đậm (Z) hoặc chữ rộng lớn đem viền với vần âm "Z" bắt mối cung cấp kể từ giờ đồng hồ Đức Zahlen (nghĩa là "số").^[2]^[3]^[4]^[5] là một trong những tụ hợp con cái của tụ hợp những số hữu tỷ , cho tới lượt nó là một trong những tụ hợp con cái của tụ hợp những số thực . Giống như tụ hợp những số đương nhiên, là tụ hợp vô hạn kiểm đếm được.

Các số nguyên vẹn tạo nên trở thành group nhỏ nhất và đai nhỏ nhất chứa chấp những số đương nhiên. Trong lý thuyết số đại số, những số nguyên vẹn đôi lúc được xem là số nguyên vẹn hữu tỉ nhằm phân biệt bọn chúng với những số nguyên vẹn đại số tổng quát lác rộng lớn. Trên thực tiễn, số nguyên vẹn (hữu tỉ) là số nguyên vẹn đại số nhưng mà cũng chính là số hữu tỉ.

Ký hiệu[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu tượng rất có thể được dùng làm biểu thị những tụ hợp không giống nhau, với cơ hội dùng không giống nhau trong những người sáng tác không giống nhau: ,^[2] hoặc so với những số nguyên vẹn dương, hoặc cho những số nguyên vẹn ko âm và cho những số nguyên vẹn không giống 0. Một số người sáng tác dùng ký hiệu cho những số nguyên vẹn không giống 0, trong những lúc những người dân không giống dùng nó cho những số nguyên vẹn ko âm hoặc cho tới {–1, 1}. Trong khi, được dùng nhằm biểu thị tập dượt những số nguyên vẹn modulo p^[2] (tức là tập dượt những lớp đồng dư của những số nguyên) hoặc tập dượt những số nguyên vẹn p -adic.^[1]^[6]^[7]

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Các số nguyên vẹn rất có thể được xem là những điểm tách rộc rạc, cơ hội đều nhau bên trên một trục số nhiều năm vô hạn. Tại hình bên trên, những số nguyên vẹn ko âm được hiển thị vày blue color lam và số nguyên vẹn âm red color.

Giống giống như những số đương nhiên, là tụ hợp đóng góp với những quy tắc toán nằm trong và nhân, tức là tổng và tích của nhị số nguyên vẹn ngẫu nhiên là một vài nguyên vẹn. Tuy nhiên, với việc bao hàm cả những số nguyên vẹn âm (và cần thiết là 0), , không phải như những số đương nhiên, cũng chính là tụ hợp đóng góp với quy tắc trừ.^[8]

Các số nguyên vẹn tạo nên trở thành một đai đơn vị chức năng, vốn liếng là đai cơ phiên bản nhất, theo đòi nghĩa sau: so với ngẫu nhiên đai đơn vị chức năng này, đều sở hữu một quy tắc đồng cấu độc nhất kể từ những số nguyên vẹn vô đai này. Thuộc tính phổ quát lác này, ví dụ là một trong những đối tượng người dùng ban sơ vô loại đai, là đặc thù cho tới đai .

ko đóng góp với quy tắc phân chia, vì như thế thương của nhị số nguyên vẹn (ví dụ: 1 phân chia cho tới 2) rất có thể ko là số nguyên vẹn. Mặc cho dù những số đương nhiên là đóng góp với quy tắc lũy quá, tuy nhiên những số nguyên vẹn thì ko (vì sản phẩm rất có thể là một trong những phân số Lúc số nón là âm).

Bảng sau liệt kê một vài đặc thù cơ phiên bản của quy tắc nằm trong và quy tắc nhân so với ngẫu nhiên số nguyên vẹn a, b và c:

Tính hóa học của quy tắc nằm trong và quy tắc nhân bên trên số nguyên
	Phép cộng	Phép nhân
Tính đóng:	a + b là số nguyên	a × b là số nguyên
Tính kết hợp:	a + (b + c) = (a + b) + c	a × (b × c) = (a × b) × c
Tính kí thác hoán:	a + b = b + a	a × b = b × a
Tồn bên trên thành phần đơn vị:	a + 0 = a	a × 1 = a
Tồn bên trên thành phần nghịch ngợm đảo:	a + (−a) = 0	Số nguyên vẹn độc nhất đem thành phần nghịch ngợm hòn đảo (gọi là đơn vị) là −1 và 1.
Thuộc tính phân phối:	a × (b + c) = (a × b) + (a × c) và (a + b) × c = (a × c) + (b × c)
Không đem ước số của 0:		Nếu a × b = 0, thì a = 0 hoặc b = 0 (hoặc cả hai)

Trong ngôn từ của đại số trừu tượng, năm tính chất trước tiên được liệt kê phía trên xác định rằng là một trong những group abel với quy tắc nằm trong. Nó cũng là một trong những group cyclic, vì như thế từng số nguyên vẹn không giống 0 đều rất có thể được ghi chép bên dưới dạng tổng hữu hạn 1 + 1 +... + 1 hoặc (−1) + (−1) +... + (−1). Trên thực tiễn, với quy tắc nằm trong là nhóm tuần trả vô hạn duy nhất — theo đòi tức thị ngẫu nhiên group tuần trả vô hạn này đều là đẳng cấu với .

Bốn tính chất trước tiên được liệt kê phía trên được chấp nhận nhân bảo rằng cùng theo với quy tắc nhân là một trong những monoid kí thác hoán. Tuy nhiên, ko nên từng số nguyên vẹn đều sở hữu nghịch ngợm hòn đảo nhân (như tình huống của số 2), Tức là với quy tắc nhân ko nên là một trong những group.

Tất cả những quy tắc kể từ bảng tính chất bên trên (ngoại trừ quy tắc cuối cùng), Lúc được kết phù hợp với nhau, bảo rằng cùng theo với quy tắc nằm trong và quy tắc nhân là một trong những đai kí thác hoán đem thành phần đơn vị chức năng. Nó là nguyên vẹn khuôn của toàn bộ những đối tượng người dùng của cấu hình đại số như thế. Chỉ những đẳng thức của biểu thức là đúng trong những cho tới toàn bộ những độ quý hiếm của biến đổi, thì cũng chính là đúng trong những ngẫu nhiên đai kí thác hoán đem đơn vị chức năng này. Một số số nguyên vẹn không giống 0 ánh xạ cho tới 0 vô một vài đai chắc chắn.

Việc thiếu thốn những ước số của 0 trong những số nguyên vẹn (thuộc tính ở đầu cuối vô bảng) Tức là đai kí thác hoán là một trong những miền nguyên vẹn.

Việc thiếu thốn những quy tắc nghịch ngợm hòn đảo của quy tắc nhân, tương tự với thực tiễn là ko nên là đóng góp với quy tắc phân chia, Tức là không phải là một trong những ngôi trường. Trường nhỏ nhất chứa chấp những số nguyên vẹn bên dưới dạng một đai con cái là ngôi trường những số hữu tỉ. Quá trình thiết kế những số hữu tỉ kể từ những số nguyên vẹn rất có thể được làm theo muốn tạo trở thành ngôi trường phân số của ngẫu nhiên miền nguyên vẹn này. Và ngược lại, chính thức kể từ ngôi trường số đại số (phần không ngừng mở rộng của số hữu tỉ), đai số nguyên vẹn của chính nó rất có thể được trích xuất, bao hàm như thể đai con cái của chính nó.

Mặc cho dù quy tắc phân chia thường thì ko được khái niệm bên trên , quy tắc phân chia "với phần dư" được xác lập bên trên bọn chúng. Nó được gọi là quy tắc phân chia Euclid, và đem đặc thù cần thiết sau: cho tới nhị số nguyên vẹn a và b với b ≠ 0, tồn bên trên những số nguyên vẹn q và r độc nhất sao cho tới a = q × b + r và 0 ≤ r < |b|, ở đâu |b| biểu thị độ quý hiếm vô cùng của b.^[9] Số nguyên vẹn q được gọi là thương và r được gọi là phần dư của quy tắc phân chia a cho tới b. Thuật toán Euclid nhằm tính ước số cộng đồng lớn số 1 sinh hoạt với cùng một chuỗi những quy tắc phân chia Euclid.

Một đợt tiếp nhữa, vô ngôn từ của đại số trừu tượng, phần bên trên bảo rằng là một trong những đai Euclid. Như vậy ý niệm rằng là một trong những đai ideal chủ yếu và ngẫu nhiên số nguyên vẹn dương nào thì cũng rất có thể được ghi chép bên dưới dạng tích của những số yếu tố theo đòi một cơ hội cơ phiên bản độc nhất.^[10] Đây là ấn định lý cơ phiên bản của số học tập.

Thuộc tính lý thuyết loại tự[sửa | sửa mã nguồn]

là một trong những tụ hợp đem trật tự trọn vẹn không tồn tại số lượng giới hạn bên trên hoặc bên dưới. Thứ tự động của được khái niệm là: :... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 <... Một số nguyên vẹn là dương nế như đó to hơn 0 và âm nế như đó nhỏ rộng lớn 0. Số ko (0) được khái niệm là ko âm cũng ko dương.

Thứ tự động của những số nguyên vẹn tương mến với những quy tắc toán đại số Theo phong cách sau:

Xem thêm: cao ra cac2

Nếu a < b và c < d, thì a + c < b + d
Nếu a < b và 0 < c, thì ac < bc.

Vì vậy, tớ Tóm lại rằng cùng theo với trật tự bên trên là một trong những đai đem trật tự.

Các số nguyên vẹn là group abel đem trật tự trọn vẹn ko tầm thông thường độc nhất đem những thành phần dương được bố trí theo đòi trật tự hợp lý và phải chăng.^[11] Như vậy tương tự với tuyên tía rằng ngẫu nhiên đai Đánh Giá Noether nào thì cũng là một trong những ngôi trường — hoặc một đai định vị vô nằm trong cần thiết.

Xây dựng[sửa | sửa mã nguồn]

Trong quy trình dạy dỗ học tập ở ngôi trường đái học tập, những số nguyên vẹn thông thường được khái niệm một cơ hội trực quan liêu là những số đương nhiên (dương), số 0 và những số đối của những số đương nhiên. Tuy nhiên, loại khái niệm này kéo theo nhiều tình huống không giống nhau (mỗi quy tắc toán số học tập cần phải xác lập bên trên từng tổng hợp những loại số nguyên) và khiến cho việc chứng tỏ rằng những số nguyên vẹn tuân theo đòi những ấn định luật số học tập không giống nhau trở thành tẻ nhạt nhẽo.^[12] Do cơ, vô toán học tập lý thuyết tụ hợp tiến bộ, một cấu hình trừu tượng hơn^[13] được chấp nhận người tớ xác lập những quy tắc toán số học tập nhưng mà không tồn tại ngẫu nhiên phân biệt tình huống này thông thường được dùng để thay thế thế.^[14] Do cơ, những số nguyên vẹn rất có thể được thiết kế đầu tiên giống như những lớp tương tự của những cặp số đương nhiên đem trật tự (a,b).^[15]

Trực giác là (a,b) là ghi chép tắt của sản phẩm của quy tắc trừ a-b.^[15] Để xác nhận kỳ vọng của tất cả chúng ta rằng 1 − 2 và 4 − 5 biểu thị nằm trong một vài, tất cả chúng ta xác lập mối liên hệ tương tự ~ bên trên những cặp này với quy tắc sau:

chỉ khi

Phép nằm trong và quy tắc nhân những số nguyên vẹn rất có thể được khái niệm theo đòi những quy tắc toán tương tự bên trên những số tự động nhiên;^[15] bằng phương pháp dùng [(a,b)] nhằm biểu thị lớp tương tự đem (a,b) là member, lớp này có:

Số đối (hoặc quy tắc nghịch ngợm hòn đảo của quy tắc cộng) của một vài nguyên vẹn đã đạt được bằng phương pháp hòn đảo ngược trật tự của cặp:

Do cơ quy tắc trừ rất có thể được khái niệm là quy tắc cùng theo với nghịch ngợm hòn đảo của quy tắc cộng:

Thứ tự động xài chuẩn chỉnh bên trên những số nguyên vẹn được thể hiện với bất đẳng thức:

Lúc và chỉ Lúc

Dễ dàng xác minh rằng những khái niệm này sẽ không tùy theo việc lựa lựa chọn đại diện thay mặt của những lớp tương tự.

Mọi lớp tương tự mang 1 member độc nhất đem dạng (n,0) hoặc (0,n) (hoặc cả nhị và một lúc). Số đương nhiên n được xác lập với lớp [(n,0)] (nghĩa là, những số đương nhiên được nhúng vô những số nguyên vẹn bằng phương pháp ánh xạ gửi n cho tới [(n,0)]) và lớp [(0,n)] được ký hiệu −n (điều này bao hàm toàn bộ những lớp sót lại và cho tới lớp [(0,0)] gấp đôi vì thế −0 = 0.

Do cơ, [(a,b)] được ký hiệu là

Nếu những số đương nhiên được xác lập với những số nguyên vẹn ứng (sử dụng quy tắc nhúng được trình bày ở trên), thì quy ước này sẽ không dẫn đến sự mơ hồ nước.

Ký hiệu này bình phục trình diễn không xa lạ của những số nguyên vẹn là {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...}.

Một số ví dụ:

Trong khoa học tập PC lý thuyết, những cơ hội tiếp cận không giống nhằm thiết kế những số nguyên vẹn được dùng vày những máy dò xét ấn định lý tự động hóa và những khí cụ ghi chép lại thuật ngữ. Số nguyên vẹn được trình diễn bên dưới dạng những thuật ngữ đại số được thiết kế bằng phương pháp dùng một vài ba quy tắc toán cơ phiên bản (ví dụ: zero, succ, pred) và, rất có thể, dùng những số đương nhiên, được giả thiết là và đã được thiết kế (sử dụng cách thức Peano).

Tồn bên trên tối thiểu mươi cơ hội thiết kế những số nguyên vẹn đem vệt.^[16] Các cấu hình này không giống nhau theo đòi một vài cách: con số những quy tắc toán cơ phiên bản được dùng cho tới cấu hình, con số (thường là kể từ 0 cho tới 2) và những loại đối số được những quy tắc toán này chấp nhận; sự hiện hữu hoặc vắng ngắt mặt mũi của những số đương nhiên thực hiện đối số của một vài quy tắc toán này và thực tiễn là những quy tắc toán này còn có nên là hàm tạo nên tự tại hay là không, tức là nằm trong một vài nguyên vẹn rất có thể được trình diễn chỉ vày một hoặc nhiều số hạng đại số.

Kỹ thuật thiết kế những số nguyên vẹn được trình diễn phía trên vô phần này ứng với tình huống ví dụ vô cơ mang 1 cặp quy tắc toán cơ phiên bản duy nhất nhận đối số là nhị số đương nhiên và và trả về một vài nguyên vẹn (bằng ). Thao tác này sẽ không tự tại vì như thế số nguyên vẹn 0 rất có thể được ghi chép là cặp (0,0), hoặc cặp (1,1) hoặc cặp (2,2), v.v. Kỹ thuật thiết kế này được dùng vày trợ lý chứng tỏ Isabelle; song, nhiều khí cụ không giống dùng những nghệ thuật thiết kế thay cho thế, xứng đáng để ý là những nghệ thuật dựa vào những cấu hình tự tại, giản dị rộng lớn và rất có thể được tiến hành hiệu suất cao rộng lớn vô PC.

Máy tính[sửa | sửa mã nguồn]

Một số nguyên vẹn thông thường là một trong những loại tài liệu nguyên vẹn thủy trong những ngôn từ PC. Tuy nhiên, loại tài liệu số nguyên vẹn chỉ rất có thể đại diện thay mặt cho 1 tụ hợp con cái của toàn bộ những số nguyên vẹn, vì như thế PC thực tiễn đem dung tích hữu hạn. Trong khi, vô trình diễn quy tắc bù nhị phổ cập, khái niệm cố hữu của vệt phân biệt thân thích "âm" và "không âm" thay cho "âm, dương và 0 ". (Tuy nhiên, chắc chắn là PC rất có thể xác lập được liệu một độ quý hiếm số nguyên vẹn đem thực sự là số dương hay là không.) Các loại tài liệu xấp xỉ số nguyên vẹn có tính nhiều năm thắt chặt và cố định (hoặc tụ hợp con) được ký hiệu là int hoặc Integer vô một vài ngôn từ thiết kế (chẳng hạn như Algol68, C, Java, Delphi, v.v..).

Các trình diễn số nguyên vẹn có tính nhiều năm thay cho thay đổi, ví dụ như bignum, rất có thể tàng trữ ngẫu nhiên số nguyên vẹn này vừa phải với bộ lưu trữ của sản phẩm tính. Các loại tài liệu số nguyên vẹn không giống được xây dựng với độ dài rộng thắt chặt và cố định, thông thường là một vài bit là lũy quá của 2 (4, 8, 16, v.v.) hoặc một vài chữ số thập phân (ví dụ: 9 hoặc 10).

Lực lượng[sửa | sửa mã nguồn]

Lực lượng của tụ hợp những số nguyên vẹn vày ℵ₀ (aleph-null). Điều được dễ dàng và đơn giản chứng tỏ bằng sự việc thiết kế một tuy vậy ánh, cơ là một trong những hàm đơn ánh và toàn ánh kể từ cho tới . Nếu như tiếp sau đó kiểm tra hàm sau:

{... (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,0) (1,1) (2,3) (3,5)...}

Nếu như thì tớ kiểm tra hàm sau:

{... (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,1) (1,3) (2,5) (3,7)...}

Nếu miền bị giới hạn vô vậy thì từng và từng thành phần của mang 1 và có một thành phần ứng của và theo đòi khái niệm của đồng đẳng lực lượng thì nhị tụ hợp này còn có lực lượng đều bằng nhau.

Xem thêm: turn in là gì

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Số vô tỉ
Số hữu tỉ
Số nguyên vẹn tố
Số tự động nhiên
Số đại số
Số siêu việt
Số thực
Số phức
Số siêu phức

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

^ ^a ^b ^c Weisstein, Eric W., "Số nguyên" kể từ MathWorld.
^ ^a ^b ^c “Compendium of Mathematical Symbols”. Math Vault (bằng giờ đồng hồ Anh). 1 mon 3 năm 2020. Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
^ Weisstein, Eric W. “Integer”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
^ Miller, Jeff (29 mon 8 năm 2010). “Earliest Uses of Symbols of Number Theory”. Bản gốc tàng trữ ngày 31 mon một năm 2010. Truy cập ngày trăng tròn mon 9 năm 2010.
^ Peter Jephson Cameron (1998). Introduction to tướng Algebra. Oxford University Press. tr. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
^ Keith Pledger and Dave Wilkins, "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Vi xử lý Core Mathematics 1" Pearson 2008
^ LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Book 2, Longman 1975.
^ “Integer | mathematics”. Encyclopedia Britannica (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
^ “The Definitive Higher Math Guide to tướng Long Division and Its Variants — for Integers”. Math Vault (bằng giờ đồng hồ Anh). 24 mon hai năm 2019. Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
^ Serge, Lang (1993). Algebra (ấn phiên bản 3). Addison-Wesley. tr. 86–87. ISBN 978-0-201-55540-0.
^ Warner, Seth (2012). Modern Algebra. Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. Theorem trăng tròn.14, p. 185. ISBN 978-0-486-13709-4. Bản gốc tàng trữ ngày 6 mon 9 năm 2015. Truy cập ngày 29 tháng tư năm 2015.
^ Mendelson, Elliott (2008). Number Systems and the Foundations of Analysis. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. tr. 86. ISBN 978-0-486-45792-5. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
^ Ivorra Castillo: Álgebra
^ Frobisher, Len (1999). Learning to tướng Teach Number: A Handbook for Students and Teachers in the Primary School. The Stanley Thornes Teaching Primary Maths Series. Nelson Thornes. tr. 126. ISBN 978-0-7487-3515-0. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
^ ^a ^b ^c Campbell, Howard E. (1970). The structure of arithmetic. Appleton-Century-Crofts. tr. 83. ISBN 978-0-390-16895-5.
^ Garavel, Hubert (2017). On the Most Suitable Axiomatization of Signed Integers. Post-proceedings of the 23rd International Workshop on Algebraic Development Techniques (WADT'2016). Lecture Notes in Computer Science. 10644. Springer. tr. 120–134. doi:10.1007/978-3-319-72044-9_9. Lưu trữ phiên bản gốc ngày 26 mon một năm 2018. Truy cập ngày 25 mon một năm 2018.