số fibonacci

Dãy Fibonacci là sản phẩm vô hạn những số ngẫu nhiên chính thức vị nhị thành phần 0 hoặc 1 và 1, những thành phần sau này được thiết lập theo đòi quy tắc mỗi thành phần luôn luôn vị tổng nhị thành phần trước nó. Công thức truy hồi của sản phẩm Fibonacci là:

Bạn đang xem: số fibonacci

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Dãy số Fibonacci được Fibonacci, một ngôi nhà toán học tập người Ý, công tía nhập năm 1202 nhập cuốn sách Liber Abacci - Sách về toán loại qua loa 2 bài xích toán: Bài toán con cái thỏ và câu hỏi số những "cụ tổ" của một ong đực.

Henry Dudeney (1857 - 1930) (là một ngôi nhà văn và ngôi nhà toán học tập người Anh) phân tích ở trườn sữa, cũng đạt thành quả tương tự động.

Thế kỉ XIX, ngôi nhà toán học tập Edouard Lucas xuất bạn dạng một cuốn sách tứ luyện với chủ thể toán học tập vui chơi, ông vẫn sử dụng thương hiệu Fibonacci nhằm gọi sản phẩm số thành quả của câu hỏi kể từ cuốn Liber Abaci – câu hỏi vẫn sinh đi ra sản phẩm Fibonacci.

Những câu hỏi banh đầu[sửa | sửa mã nguồn]

2 câu hỏi tại đây được trích kể từ sách Liber Abacci vì thế Fibonacci ghi chép nhập năm 1202. Đây là những câu hỏi kiểu mẫu mực dẫn theo tham khảo sản phẩm số Fibonacci.

Bài toán số con cái thỏ[sửa | sửa mã nguồn]

Một song thỏ (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) ko sinh cho tới Khi bọn chúng đầy đủ 2 mon tuổi tác. Sau Khi đầy đủ 2 mon tuổi tác, từng song thỏ sinh một song thỏ con cái (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) từng tháng. Hỏi sau n mon với từng nào song thỏ, nếu như đầu năm mới (tháng Giêng) với cùng 1 song thỏ sơ sinh

Trong hình vẽ bên trên, tao quy ước:

• Cặp thỏ xám là cặp thỏ có tính tuổi tác 1 mon.
• Cặp thỏ được ghi lại (màu đỏ au và color xanh) là cặp thỏ với kỹ năng sinh đẻ.

Nhìn nhập hình vẽ bên trên tao nhận thấy:

• Tháng Giêng và mon Hai: Chỉ có một song thỏ.
• Tháng Ba: song thỏ này tiếp tục đẻ đi ra một song thỏ con cái, vì thế nhập mon này còn có 2 song thỏ.
• Tháng Tư: chỉ mất song thỏ ban sơ sinh con cái nên cho tới thời khắc này còn có 3 song thỏ.
• Tháng Năm: với nhị song thỏ (đôi thỏ đầu và song thỏ được sinh đi ra ở mon Ba) nằm trong sinh con cái nên ở mon này còn có 2 + 3 = 5 song thỏ.
• Tháng Sáu: với phụ thân song thỏ (2 song thỏ đầu và song thỏ được sinh đi ra ở mon Tư) nằm trong sinh con cái ở thời đặc điểm đó nên cho tới trên đây với 3 + 5 = 8 song thỏ.

Khái quát mắng, nếu như n là số ngẫu nhiên không giống 0, gọi f(n) là số song thỏ với ở mon loại n, tao có:

• Với n = 1 tao được f(1) = 1.
• Với n = 2 tao được f(2) = 1.
• Với n = 3 tao được f(3) = 2.

Do bại liệt với n > 2 tao được: f(n) = f(n-1) + f(n-2).

Điều bại liệt rất có thể được lý giải như sau: Các song thỏ sinh đi ra ở mon n -1 ko thể sinh con cái ở mon loại n, và ở mon này song thỏ mon loại n - 2 sinh đi ra một song thỏ con cái nên số song thỏ được sinh đi ra ở mon loại n đó là độ quý hiếm của f(n - 2).

Số những "cụ tổ" của một con cái ong đực[sửa | sửa mã nguồn]

Fibonacci vẫn tế bào miêu tả sản phẩm những tổ tiên của một con cái ong đực như sau: (Loài ong rất có thể thụ tinh anh đơn tính hoặc lưỡng tính). Giả sử rằng:

• Nếu một trứng ong thụ tinh anh vị chủ yếu con cái ong loại nó nở trở thành một con cái ong đực
• Tuy nhiên, nếu như một trứng thụ tinh anh vị một ong đực nó nở trở thành một con cái ong loại.
• Như vậy một con cái ong đực tiếp tục luôn luôn với cùng 1 u, và một con cái ong loại sẽ sở hữu cả tía và u.

Ta chính thức tính số những con cái ong tổ tiên của một con cái ong đực. Xét một con cái ong đực ở mới loại n. Nhìn nhập hình bên trên tao thấy:

• Trước một đời, mới n-1: Con ong đực chỉ tồn tại một u (1 ong cái).
• Trước nhị đời, mới n-2: Con ong thế hệ n-1 với 2 cha mẹ, một ong tía (đực) và một ong u (cái)(2 con cái ong: 1 đực+ một cái)).
• Trước phụ thân đời, mới n-3: Con ong loại mới n-2 lại sở hữu nhị cha mẹ, một ong tía (đực) và một ong u (cái), và con cái đực mới n-2 với cùng 1 u (3 con cái ong: 1 ong đực + 2 ong cái)
• Trước tứ đời, mới n-4: Hai con cháu, từng con cái với 2 phụ vương, u và từng con cái đực với cùng 1 u (5 con cái ong: 2 ong đực 3 ong cái)

Tiếp tục quy trình này tao sẽ sở hữu một sản phẩm số Fibonacci.

Kết luận[sửa | sửa mã nguồn]

Như vậy, việc làm xử lý nhị câu hỏi bên trên của Fibonacci dẫn cho tới việc tham khảo sản phẩm số f(n) xác định:

• f(0)= 0.
• f(1)= 1.
• f(2)= 1.
• f(n)= f(n-1) +f(n-2) với n > 2.

Đó là sản phẩm Fibonacci và những số hạng nhập sản phẩm được gọi là những số Fibonacci.

Các thành phần trước tiên của dãy[sửa | sửa mã nguồn]

Người tao chứng tỏ được rằng công thức tổng quát mắng mang lại sản phẩm Fibonacci là:

Quan hệ với tỷ trọng vàng[sửa | sửa mã nguồn]

Tỷ lệ vàng (phi), được đinh tức thị tỷ số Khi phân chia đoạn trực tiếp trở thành nhị phần sao mang lại tỷ trọng thân thiện cả đoạn ban sơ với đoạn to hơn vị tỷ số thân thiện đoạn rộng lớn và đoạn nhỏ. cũng có thể chứng tỏ rằng nếu như quy phỏng lâu năm đoạn rộng lớn về đơn vị chức năng thì tỷ trọng này là nghiệm dương của phương trình:

, hoặc tương tự

chính là số .

Công thức dạng tường minh[sửa | sửa mã nguồn]

Cũng như từng sản phẩm số xác lập vị công thức đệ quy tuyến tính, những số Fibonacci rất có thể tìm kiếm ra công thức dạng tường minh.

Ta tiếp tục chứng tỏ (công thức Binet):

, nhập bại liệt là tỷ trọng vàng phía trên.

Như vậy, kể từ hệ thức truy hồi Fibonacci tao có:

sẽ dẫn cho tới phương trình xác lập tỷ trọng vàng

(là phương trình nhiều thức đặc thù của hồi quy).

Chứng minh

Chứng minh (bằng quy nạp):

Một nghiệm ngẫu nhiên của phương trình bên trên thoả mãn đặc điểm . Nhân nhị vế với có:

Chú ý rằng, theo đòi khái niệm là một trong nghiệm của phương trình và nghiệm bại liệt là . Do đó:

Bây giờ khái niệm hàm:

xác lập với từng số thực

Tất cả những hàm này vừa lòng hệ thức truy hồi Fibonacci, thiệt vậy:

Bây giờ lựa chọn và . Tiếp tuc:

và

những chứng tỏ phía trên minh chứng rằng

với từng n.

Chú ý rằng, với nhị độ quý hiếm khởi điểm ngẫu nhiên của , hàm là công thức tường minh cho 1 loạt những hệ thức truy hồi.

Giới hạn của thương tiếp tiếp[sửa | sửa mã nguồn]

Johannes Kepler, vẫn chứng tỏ sự quy tụ sau:

hội tụ cho tới tỷ trọng vàng (phi)

Thực đi ra thành quả này trúng với từng cặp độ quý hiếm khởi điểm, trừ (0, 0).

Từ công thức tường minh, tao với, với từng :

vì thế, như đơn giản dễ dàng thấy, và như thế

Chứng minh

Phương pháp tính số[sửa | sửa mã nguồn]

Việc giải một hệ thức truy hồi tổng quát mắng dựa vào việc giải phương trình đặc thù của chính nó. Lấy ví như, mang lại hệ thức truy hồi dạng a_n = c₁a_n-1+ c₂a_n-2 +... +c_ka_n-k (1)

Khi bại liệt nghiệm của hệ là r sẽ sở hữu dạng: rⁿ = c₁r^n-1 + c₂r^n-2 +c₃r^n-3 +...+c_kr^n-k

Giải phương trình bên trên tao được những nghiệm phân biệt r₁,r₂,....,r_n-1.Đồng thời tao với a_n=b₁r₁ⁿ +b₂r₂ⁿ +...+b_n-1r_n-1ⁿ (2)

Do vậy giải hệ phương trình (2) với a₁,a₂,.., a_n mang lại trước tao tiếp tục sẽ có được những độ quý hiếm b₁,b₂,...,b_n-1, thay cho quay về tao sẽ sở hữu phương trình tổng quát mắng dành riêng cho hệ thức truy hồi (1)

Biểu biểu diễn yêu tinh trận[sửa | sửa mã nguồn]

Từ hệ thức truy hồi tao với phương trình tương tác lặp tuyến tính 2 chiều tế bào miêu tả sản phẩm Fibonacci là

có thể ký hiệu lại bên dưới dạng

từ điều này suy ra: . Các độ quý hiếm riêng rẽ của yêu tinh trận A là và ứng với những vectơ riêng

và

Ta với vectơ của độ quý hiếm ban sơ với dạng

Xem thêm: acp là gì

suy đi ra biểu thức số hạng loại n là

Từ trên đây tao rất có thể thẳng rút đi ra biểu thức dạng đóng góp mang lại số hạng loại n nhập sản phẩm Fibonacci:

Một cơ hội tuơng đương, tao rất có thể đo lường yêu tinh trận lũy quá bằng phương pháp chéo cánh hóa yêu tinh trận A dùng phân tách riêng rẽ của chính nó, với là yêu tinh trận đàng chéo:

trong bại liệt và

Vì vậy biểu thức dạng đóng góp mang lại số hạng loại n của sản phẩm Fibonacci được mang lại vị phương trình:

thực hiện tại nhân yêu tinh trận, nối tiếp tao suy đi ra được công thức Binet

Ma trận A với lăm le thức là −1, và vì vậy nó là một trong yêu tinh trận 2×2 đơn môđun (unimodular). Một yêu tinh trận đơn môđun là yêu tinh trận vuông với lăm le thức là 1 trong những hoặc −1.

Tính hóa học này rất có thể được hiểu Theo phong cách màn biểu diễn liên phân số mang lại tỉ lệ thành phần vàng:

Các số Fibonacci đó là tỉ số thân thiện nhị giản phân liên tục của liên phân số mang lại φ, tuy nhiên yêu tinh trận được đưa đến kể từ những giản phân liên tục của một phân số liên tiếp ngẫu nhiên thì với lăm le thức là +1 hoặc −1, vậy nó là yêu tinh trận đơn môđun. Ta với màn biểu diễn yêu tinh trận thể hiện biểu thức dạng đóng góp tại đây cho những số Fibonacci:

Lấy lăm le thức mang lại nhị vế của phuơng trình này, tao dành được đẳng thức Cassini:

Hơn nữa, vì thế Aⁿ A^m = A^n+m mang lại ngẫu nhiên yêu tinh trận vuông A, rất có thể suy đi ra những đẳng thức bên dưới (chúng được rút đi ra kể từ nhị thông số không giống nhau của yêu tinh trận tích, đơn giản dễ dàng suy đi ra đẳng thức loại nhị kể từ loại trước tiên bằng phương pháp thay cho n vị n + 1),

cụ thể, với m = n,

Hai đẳng thức sau cuối mang lại tao một phương pháp tính đệ quy những số Fibonacci với O(log(n)) luật lệ toán số học tập nhập thời hạn O(M(n) log(n)), nhập bại liệt M(n) là thời hạn nhằm triển khai luật lệ nhân nhị số với n chữ số. Thời gian ngoan đo lường số hạng loại n của sản phẩm Fibonacci dùng công thức này tương tự động như phương pháp tính với biểu thức yêu tinh trận dạng đóng góp, tuy nhiên với thấp hơn quá trình ko quan trọng nếu như rất cần phải rời triển khai việc đo lường lại một vài Fibonacci vẫn được xem đi ra trước bại liệt (đệ quy với nhớ).^[1]

Các đẳng thức[sửa | sửa mã nguồn]

F(n + 1) = F(n) + F(n − 1)

F(0) + F(1) + F(2) +... + F(n) = F(n + 2) − 1

F(1) + 2 F(2) + 3 F(3) +... + n F(n) = n F(n + 2) − F(n + 3) + 2

Chuỗi lũy thừa[sửa | sửa mã nguồn]

Tổng những nghịch tặc đảo[sửa | sửa mã nguồn]

Tổng vô hạn những nghịch tặc hòn đảo của những số Fibonacci với đặc điểm tương tự động những hàm theta.

Giá trị có tên hằng số nghịch tặc hòn đảo Fibonacci

đã được chứng tỏ là số vô tỷ vị Richard André-Jeannin, tuy nhiên không biết một biểu thức dạng đúng đắn của chính nó.

Tổng quát mắng hóa[sửa | sửa mã nguồn]

Mở rộng lớn cho những số âm[sửa | sửa mã nguồn]

Dùng F_n-2 = F_n - F_n-1, rất có thể không ngừng mở rộng những số Fibonacci cho những chỉ số vẹn toàn âm. Khi bại liệt tao có:... -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,... và F_-n = -(-1)ⁿF_n.

Không gian ngoan vectơ[sửa | sửa mã nguồn]

Thuật ngữ dãy Fibonacci cũng rất được sử dụng cho những hàm g kể từ luyện những số vẹn toàn cho tới một ngôi trường F thoả mãn g(n+2) = g(n) + g(n+1). Các hàm này rất có thể màn biểu diễn bên dưới dạng

g(n) = F(n)g(1) + F(n-1)g(0),

do vậy những sản phẩm Fibonacci tạo hình một không khí vectơ với hàm F(n) và F(n-1) là một trong hạ tầng.

Tổng quát mắng rộng lớn, độ quý hiếm của g rất có thể lấy nhập một group abel (xem như 1 z-module). Khi bại liệt sản phẩm Fibonacci là một trong Z-module 2 chiều.

Các sản phẩm số vẹn toàn tương tự[sửa | sửa mã nguồn]

Các số Lucas[sửa | sửa mã nguồn]

Đặc biệt, sản phẩm Fibonacci L với L(1) = 1 và L(2) = 3 được gọi là số Lucas, theo đòi thương hiệu của Edouard Lucas. Dãy Lucas và đã được Leonhard Euler nhắc đến năm 1748, nhập Nhập môn giải tích vô hạn (Introductio in Analysin Infinitorum). Về chân thành và ý nghĩa, những sô Lucas L(n) là luỹ quá bậc n của tỷ trọng vàng

Các số Lucas mối liên hệ với những số Fibonacci theo đòi hệ thức

Một tổng quát mắng hoá của sản phẩm Fibonacci là những sản phẩm Lucas. Nó rất có thể khái niệm như sau:

U(0) = 0

U(1) = 1

U(n + 2) = PU(n + 1) − QU(n)

trong bại liệt sản phẩm Fibonacci là tình huống quan trọng đặc biệt Khi P = 1 và Q = −1. Một dạng không giống của những sản phẩm Lucas chính thức với V(0) = 2, V(1) = P. Các sản phẩm này còn có phần mềm nhập lý thuyết số nhằm đánh giá tính yếu tắc.

Các sản phẩm Padovan là tương tự động với hệ thức truy hồi P(n) = P(n − 2) + P(n − 3).

Các số Tribonacci[sửa | sửa mã nguồn]

Các số tribonacci tương tự động những số Fibonacci, tuy nhiên chứ không phát động với nhị thành phần, sản phẩm này phát động với phụ thân phân tử và từng số tiếp theo sau vị tổng của phụ thân thành phần đứng trước. Sau đó là một vài sô tribonacci  A000073:

0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, …

Giá trị của hằng số tribonacci là tỷ số (tỷ lệ tuy nhiên những số tribonacci ngay tắp lự kề với xu hướng). Nó là nghiệm của nhiều thức x³ − x² − x − 1, xấp xỉ 1.83929, và cũng thoả mãn phương trình x + x⁻³ = 2. Nó với tầm quan trọng cần thiết Khi phân tích khối snub.

Các số tribonacci cũng rất được mang lại bởi

ở trên đây cặp vết ngoặc vuông ngoài là ký hiệu của hàm phần vẹn toàn và

(Simon Plouffe, 1993).[1] Lưu trữ 2006-04-05 bên trên Wayback Machine

Các tổng quát mắng hóa khác[sửa | sửa mã nguồn]

Các nhiều thức Fibonacci là một trong tổng quát mắng hoá không giống của sản phẩm Fibonacci.

Một dãy Fibonacci ngẫu nhiên rất có thể xác lập bằng sự việc ném đồng xu cho từng n nhập sản phẩm và lấy F(n)=F(n−1)+F(n−2) nếu như đồng xu sấp và lấy F(n)=F(n−1)−F(n−2) nếu như đồng xu ngửa.

Có thể khái niệm sản phẩm "ngẫu nhiên Fibonacci" là sản phẩm những số f_n xác lập theo đòi đệ quy

f₀ = 1, f₁ = 1, and

Hầu chắc chắn rằng rằng căn bậc n của trị vô cùng của số hạng loại n quy tụ về một hằng số Khi n tăng vô hạn.

Số yếu tắc Fibonacci[sửa | sửa mã nguồn]

Một số những số Fibonacci cũng chính là những số yếu tắc như: 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229,….

Các số yếu tắc Fibonacci với sản phẩm ngàn chữ số và đã được nhìn thấy, tuy nhiên vẫn không biết liệu với vô số những số như thế ko.^[2]

F_kn phân chia không còn vị F_n, vì thế, nước ngoài trừ F₄ = 3, bất kể số yếu tắc Fibonacci prime cần với chỉ số trật tự cũng chính là số yếu tắc.

Không với số Fibonacci từF₆ = 8 trở lên đường tuy nhiên to hơn hoặc nhỏ rộng lớn một đối với số yếu tắc.^[3]

Số Fibonacci có một không hai chủ yếu phương ko tầm thông thường là số 144.^[4] Attila Pethő vẫn chứng tỏ nhập 2001 chỉ mất hữu hạn số lũy quá tuyệt đối hoàn hảo Fibonacci.^[5] Trong 2006, Y. Bugeaud, M. Mignotte, và S. Siksek vẫn chứng tỏ rằng chỉ có một không hai 8 và 144 là số lũy quá tuyệt đối hoàn hảo ko tầm thông thường.^[6]

Các xâu (ký tự) Fibonacci[sửa | sửa mã nguồn]

Cho xâu Fibonacci được khái niệm đệ quy như sau:

,

trong bại liệt vết "+" ký hiệu được chấp nhận ghép nhị xâu.

Hãy ghi chép giải thuật (đệ quy hoặc phi đệ quy) tính phỏng lâu năm xâu.

Hãy cho biết thêm độ quý hiếm của chuỗi với n = 7

Dãy những xâu Fibonacci khởi điểm là:

b, a, ab, aba, abaab, abaababa, abaababaabaab, …

Độ lâu năm của từng xâu Fibonacci đó là số Fibonacci, và với cùng 1 xâu Fibonacci ứng với từng số Fibonacci.

Các xâu Fibonacci hỗ trợ tài liệu nhập cho những minh dụ cho 1 vài ba thuật toán PC.

Số Fibonacci nhập tự động nhiên[sửa | sửa mã nguồn]

Thực vật[sửa | sửa mã nguồn]

Dãy Fibonacci xuất hiện tại ở mọi nơi nhập vạn vật thiên nhiên. Những cái lá bên trên một nhành cây nẩy xa nhau những khoảng tầm ứng với sản phẩm số Fibonacci.

Các số Fibonacci xuất hiện tại trong mỗi nhành hoa. Hầu không còn những nhành hoa với số cánh hoa là một trong trong những số: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 hoặc 89. Hoa loa kèn với 3 cánh, Họ Mao lương lậu với 5 cánh, phi yến thông thường với 8 cánh, hoa cúc vạn lâu với 13 cánh, hoa cúc tây với 21 cánh, hoa cúc thông thường với 34, hoặc 55 hoặc 89 cánh.

Nếu để ý những 'mắt' bên trên vỏ của một trái ngược thơm sực già cả, chúng ta có thể suôn sẻ nhìn thấy được số đôi mắt bên trên 2 đàng vòng cung chéo cánh bên trên vỏ trái ngược thơm sực là 2 số Fibonacci này bại liệt, ví dụ 13 và 21.

Xem thêm: phân tích người lái đò sông đà trữ tình

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

• Số đối-Fibonacci
• Số dẻo
• Số Padovan
• Số Perrin

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

• Donald Knuth, The Art of Computer Programming, third edition (1997)

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

• Hrant Arakelian, Mathematics and History of the Golden Section. Logos (2014), 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0, (rus.) 

Tiếng Việt[sửa | sửa mã nguồn]

Tiếng Anh[sửa | sửa mã nguồn]

Wikimedia Commons nhận thêm hình hình họa và phương tiện đi lại truyền đạt về Dãy Fibonacci.

• Alexey Stakhov, Museum of Harmony and Golden Section Lưu trữ 2019-04-05 bên trên Wayback Machine, (undated, 2005 or earlier).
• Subhash Kak, The Golden Mean and the Physics of Aesthetics, Archive of Physics, (2004).
• Ron Knott, The Golden Section: Phi Lưu trữ 2006-12-05 bên trên Wayback Machine, (2005).
• Ron Knott, Representations of Integers using Fibonacci numbers Lưu trữ 2007-10-30 bên trên Wayback Machine, (2004).
• Bob Johnson, Fibonacci resources Lưu trữ 2008-12-31 bên trên Wayback Machine, (2004)
• Donald E. Simanek, Fibonacci Flim-Flam Lưu trữ 2010-01-09 bên trên Wayback Machine, (undated, 2005 or earlier).
• Rachel Hall, Hemachandra's application vĩ đại Sanskrit poetry Lưu trữ 2012-07-16 bên trên Wayback Machine, (undated; 2005 or earlier).
• Alex Vinokur, Computing Fibonacci numbers on a Turing Machine Lưu trữ 2005-02-06 bên trên Wayback Machine, (2003).
• (no author given), Fibonacci Numbers Information Lưu trữ 2005-08-29 bên trên Wayback Machine, (undated, 2005 or earlier).
• Wikisource, Table of first 1000 Fibonacci numbers, (2005).
• Fibonacci Numbers and the Golden Section Lưu trữ 2007-02-07 bên trên Wayback Machine - Ron Knott's Surrey University multimedia trang web site on the Fibonacci numbers, the Golden section and the Golden string.
• The Fibonacci Association Lưu trữ 2005-10-01 bên trên Wayback Machine incorporated in 1963, focuses on Fibonacci numbers and related mathematics, emphasizing new results, research proposals, challenging problems, and new proofs of old ideas.
• Dawson Merrill's Fib-Phi liên kết page.
• Fibonacci primes