quy tắc cộng quy tắc nhân

Quy tắc cộng và quy tắc nhân là 2 quy tắc đếm cơ bản nhập lịch trình Đại số tổ hợp của lớp 11. Tuy nhiên, nhiều học sinh ko phân biệt được Khi nào quy tắc nhân, Khi nào dùng quy tắc cộng nhập việc giải các bài tập. Chuyên đề này sẽ hỗ trợ tao phân biệt rõ ràng và vận dụng đích 2 quy tắc này.

PHÂN BIỆT QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN

Bạn đang xem: quy tắc cộng quy tắc nhân

Quy tắc cộng và quy tắc nhân là 2 quy tắc đếm cơ bản nhập lịch trình Đại số tổ hợp của lớp 11. Tuy nhiên, nhiều học sinh ko phân biệt được Khi nào quy tắc nhân, Khi nào dùng quy tắc cộng nhập việc giải các bài tập. Chuyên đề này sẽ hỗ trợ tao phân biệt rõ ràng và vận dụng đích 2 quy tắc này.

I. LÝ THUYẾT
1. Quy tắc nhân: 
Nếu một công việc nào đó phải hoàn thành qua n">nn giai đoạn liên tiếp, nhập đó:
Giai đoạn 1 có \(m_1\) cách thực hiện
Giai đoạn 2 có \(m_2\) cách thực hiện

…............
Giai đoạn \(n\) có \(m_n\) cách thực hiện
Khi đó, có: \(m_1m_2...m_n\) cách để hoàn thành công việc đã mang lại.
2. Quy tắc cộng: 
Nếu một công việc nào nó có thể thực hiện theo n">nn phương án sự khác biệt, nhập đó:

Phương án 1 có \(m_1\) cách thực hiện
Phương án 2 có \(m_2\) cách thực hiện

…............
Phương án \(n\) có \(m_n\) cách thực hiện

Khi đó, có:  \(m_1+m_2+...+m_n\) cách để hoàn thành công việc đã mang lại.

Nhận xét:  
Từ định nghĩa của quy tắc cộng và quy tắc nhân bên trên, tao thấy rằng:
+  Nếu bỏ 1 giai đoạn nào đó mà tao ko thể hoàn thành được công việc (không có kết quả) thì lúc đó tao cần phải sử dụng quy tắc nhân.
+  Nếu bỏ 1 giai đoạn nào đó mà tao vẫn có thể hoàn thành được công việc (có kết quả) thì lúc đó tao sử dụng quy tắc cộng.
Như vậy, với nhận xét này, tao thấy rõ được sự quái dị của 2 quy tắc và ko thể nhầm lẫn việc dùng quy tắc cộng và quy tắc nhân được. Sau phía trên là một số bài tập minh họa:

II. BÀI TẬP
Bài 1:
Từ các chữ số \(0;1;2;3;4;5\). Lập được từng nào số ngẫu nhiên nhập mỗi trường hợp sau:
1. Số ngẫu nhiên chẵn có 4 chữ số.
2. Số ngẫu nhiên chẵn có 4 chữ số sự khác biệt.
Lời giải:
1. Gọi số ngẫu nhiên thỏa mãn đòi hỏi vấn đề là \(\overline {abcd} \)
Chọn chữ số \(d\) có 3 cách chọn, 
Chọn chữ số \(a\) có 5 cách chọn, 
Chọn chữ số \(b\) có 5 cách chọn, 
Chọn chữ số \(c\) có 5 cách chọn
Theo quy tắc nhân có: \(3.5.5.5=375\) (số).
2. Gọi số ngẫu nhiên thỏa đòi hỏi vấn đề là \(\overline {abcd} \)
-  Nếu \(d=0\)      
Chọn chữ số \(d\) có 1 cách chọn
Chọn chữ số \(a\) có 5 cách chọn
Chọn chữ số \(b\) có 4 cách chọn
Chọn chữ số \(c\) có 3 cách chọn
Theo quy tắc nhân có: \(1.5.4.3=60\) (số)  (∗)">(∗)(∗)
-  Nếu \(d \ne 0\), có 2 cách chọn chữ số d
Chọn chữ số \(a\) có 4 cách chọn
Chọn chữ số \(b\) có 4 cách chọn
Chọn chữ số \(c\) có 3 cách chọn
Theo quy tắc nhân có: \(2.4.4.3=96\) (số)  (∗∗)">(∗∗)(∗∗)
Từ (∗)">(∗)(∗) và (∗∗)">(∗∗)(∗∗) theo Quy tắc cộng tao có \(60+96=156\) (số)

Bài 2:
Bạn An có 5 hoa lá hồng sự khác biệt, 4 hoa lá cúc sự khác biệt, 3 hoa lá lan sự khác biệt, khách hàng cần chọn rời khỏi 4 bông để cắm vào một lọ hoa, hỏi khách hàng có từng nào cách chọn hoa để cắm sao mang lại hoa nhập lọ phải có đủ cả loại.
Lời giải:
Bài toán xảy rời khỏi 3 trường hợp.
+Trường hợp 1: Chọn 2 bông hồng, 1 bông cúc, 1 bông lan.
-    Chọn 1 bông hồng thứ nhất có 5 cách
-    Chọn 1 bông hồng thứ nhị có 4 cách
-    Chọn 1 bông cúc có 4 cách
-    Chọn 1 bông lan có 3 cách
Theo quy tắc nhân, tao có \(5.4.4.3=240\) cách     (1)
+Trường hợp 2: Chọn 1 bông hồng, 2 bông cúc, 1 bông lan.
-    Chọn 1 bông hồng có 5 cách
-    Chọn 1 bông cúc thứ nhất có 4 cách
-    Chọn 1 bông cúc thứ nhị có 3 cách
-    Chọn 1 bông lan có 3 cách
Theo quy tắc nhân, tao có \(5.4.3.3 = 180\) cách    (2)
+Trường hợp 3: Chọn 1 bông hồng, 1 bông cúc, 2 bông lan.
-    Chọn 1 bông hồng có 5 cách
-    Chọn 1 bông cúc có 4 cách
-    Chọn 1 bông lan thứ nhất có 3 cách
-    Chọn 1 bông lan thứ nhị có 2 cách
Theo quy tắc nhân, tao có \(5.4.3.2=120\) cách    (3)
Từ (1), (2), (3), theo gót quy tắc cộng tao có: \(240+180+120=540\) cách.

Bài 3:
Cho những chữ số  0 , 1 , 2 ,3 ,4 ,5 , 7 ,9 . Lập một số trong những bao gồm 4 chữ số không giống nhau  kể từ những chữ số bên trên . Hỏi:
a. Có từng nào số chẵn 
b. Có từng nào số xuất hiện chữ số 1
Lời giải:
a. Gọi số đang được mang lại với dạng : \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} \) (\({a_1} \ne 0;\,\,{a_4}\) là số chẵn)
    - Tìm số những số dạng bên trên bao gồm \(a_1=0\)
    - \(a_4\) có 3 cơ hội lựa chọn , những địa điểm sót lại với \(A_7^3 = 210\) cách lựa chọn nên số những số nầy là 630 số 
  -  Tìm số những số dạng bên trên nhưng mà \(a_1=0\)
    - \(a_4\) có 2 cơ hội lựa chọn , những địa điểm sót lại có \(A_6^2 = 30\) cách lựa chọn nên số những số nầy là 60 số 
Vậy số những số chẵn cần thiết thăm dò là : \(630 –60 = 570\) số
b. Gọi số đang được mang lại với dạng : \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} \)
-  Tìm số những số dạng bên trên kể cả \(a_1=0\)
Chọn địa điểm mang lại chữ số 1 : với 4 cơ hội , những địa điểm sót lại có \(A_7^3 = 210\) cách lựa chọn nên số những số nầy là 840 số
- Tìm số những số dạng bên trên mà \(a_1=0\)
\(a_1\) với 3 cơ hội lựa chọn , những địa điểm sót lại với \(A_6^2 = 30\) cách lựa chọn nên số những số nầy là 90 số
Vậy số những số cần thiết thăm dò là \(840 – 90 = 750\) số (quy tắc cộng)

Bài 4:
Có từng nào cơ hội bố trí điểm 4 thiếu phụ và 6 chúng ta phái mạnh ngồi vô 10 ghế nhưng mà không tồn tại 2 thiếu phụ này ngồi cạnh nhau nếu 
a. Ghế chuẩn bị trở thành mặt hàng ngang
b. Ghế chuẩn bị xung quanh 1 bàn tròn trặn.
Lời giải:
a. Trước không còn xếp 6 chúng ta phái mạnh nhập địa điểm với \(6!\) cơ hội bố trí. Xem từng chúng ta là 1 trong vách ngăn tạo ra trở thành 7 địa điểm. Xếp 4 chúng ta nhập 7 địa điểm có \(A_7^4\) cách. Vậy với \(6!A_7^4\) cách
b. Trước không còn xếp 6 chúng ta phái mạnh nhập vòng tròn trặn với \(5!\) cơ hội. Xem từng thiếu phụ là 1 trong vách ngăn tạo ra trở thành 6 địa điểm. Xếp 4 thiếu phụ nhập 6 địa điểm có \(A_6^4\) cách.
Vậy với \(5!A_6^4\)  cách bố trí.

Bài 5:
Trong một đội nhóm học viên của lớp với 8 phái mạnh và 4 phái nữ. Thầy giáo ham muốn lựa chọn ra 3 học viên nhằm thực hiện trực nhật lớp học tập, nhập cơ nên với tối thiểu một học viên phái mạnh. Hỏi giáo viên với từng nào cơ hội lựa chọn. 
Lời giải:
  Gọi \(A\) là luyện toàn bộ những cơ hội lựa chọn 3 học viên nhập 12 học viên.
  Gọi \(B\) là tập kết toàn bộ những cơ hội lựa chọn 3 học viên phái nữ.
  Gọi \(C\) là tập kết toàn bộ những cơ hội lựa chọn thoả mãn đòi hỏi vấn đề.
Ta có \(\left| C \right| = \left| A \right| - \left| B \right|\)  (quy tắc cộng).
Mặt không giống dễ dàng thấy \(\left| A \right| = {C_1}{2^3};\,\,\left| B \right| = C_4^3 \Rightarrow \left| C \right| = {C_1}{2^3} - C_4^3 = 216\)
Vậy với 216 cơ hội lựa chọn thoả mãn đòi hỏi vấn đề.

Xem thêm: công thức thể tích hình trụ

Bài 6:
Với tập \(E = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}\) có thể lập được từng nào số bao gồm 5 chữ số phân biệt và :
a) Là số chẵn.
b) Trong số đó với chữ số 7.
c) Trong số đó với chữ số 7 và chữ số mặt hàng ngàn luôn luôn là chữ số 1.
Lời giải:
a) Sử dụng kỹ năng và kiến thức về thiến :
* \({a_5}\) được lựa chọn kể từ tập \(F = \left\{ {2;4;6} \right\} \Rightarrow \) Có 3 cơ hội lựa chọn.
* \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4}\) là một cỗ phân biệt trật tự được lựa chọn từ \(E\backslash \left\{ {{a_5}} \right\}\) do cơ nó là 1 trong chỉnh thích hợp chập 4 của 6
\( \Rightarrow \) Có \(A_6^4\) cách lựa chọn.
Theo quy tắc nhân, số những số chẵn bao gồm 5 chữ số phân biệt , tạo hình kể từ tập \(E\) bằng :
\(3.A_6^4 = 1080\) số.
b) Chọn 1 địa điểm nhập 5 địa điểm của những chữ số để tại vị chữ số 7
\( \Rightarrow \) với 5 cơ hội chọn
Bốn địa điểm sót lại nhận độ quý hiếm là 1 trong cỗ phân biệt trật tự được lựa chọn từ \(E\backslash \left\{ 7 \right\}\) do cơ nó là 1 trong chỉnh thích hợp chập 4 của 6
\( \Rightarrow \) Có \(A_6^4\) cách lựa chọn.
Vây, số những số bao gồm 5 chữ số phân biệt, tạo hình kể từ luyện \(E\), nhập cơ với chữ số 7, vày : \( \Rightarrow 5.A_6^4 = 1800\) số.
c) Gán \({a_2} = 1 \Rightarrow \) Có một cách chọn
Chọn 1 địa điểm nhập 4 địa điểm của những chữ số để tại vị chữ số 7 ⇒">⇒ Có 4 cơ hội lựa chọn.
 Ba địa điểm sót lại nhận độ quý hiếm là 1 trong cỗ phân biệt trật tự được lựa chọn kể từ \(E\backslash \left\{ {7;1} \right\}\)

 do cơ nó là 1 trong chỉnh thích hợp chập 3 của 5. Suy rời khỏi có \(A_5^3\) cách lựa chọn. Vậy, số những số bao gồm 5 chữ số phân biệt tạo hình kể từ luyện \(E\), nhập cơ với chữ số 7 và chữ số hàng trăm ngàn là chữ số 1, vày : \(1.4.A_5^3 = 240\) số.

Bài 7
Cho những số \(0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\)
a) cũng có thể viết lách được từng nào số với 4 chữ số không giống nhau? Trong số đó với từng nào số chẵn? Bao nhiêu số phân tách không còn mang lại 5?
b) Có từng nào số với 4 chữ số không giống nhau, nhập cơ nhất thiết nên xuất hiện chữ số 5.
c) Có bao nhiếu số với 4 chữ số không giống nhau nhỏ rộng lớn 4000.
Lời giải:
a) Số với \(4\) chữ số không giống nhau.
Số cơ hội lựa chọn chữ số mặt hàng nghìn: \(7\) cách.
Số cơ hội chọn 3">33 chữ số còn lại \(A_7^3 = 210\).
Vậy số những số với \(4\) chữ số không giống nhau cần thiết thăm dò là:  \(7.210 = 1470\) (số).
* Số những số chẵn với \(4\) chữ số không giống nhau.
Vì số cần thiết thăm dò là chẵn nên chữ số tận nằm trong rất có thể là: \(\left\{ {0;2;4;6} \right\}\)
+ Nếu chữ số tận nằm trong không giống \(0\) thì số những số cần thiết tìm:
\(3.6.A_6^2 = 540\) (số).
+ Nếu chữ số tận nằm trong là 0">00 thì số những số cần thiết thăm dò là:
\(1.7.A_6^2 = 210\) (số).
Vậy số những số chẵn có 4">44 chữ số không giống nhau cần thiết thăm dò là:
\(540 + 210 = 750\) (số).
Nhận xét: Tại phía trên việc thăm dò số những số lẻ triển khai tiện lợi rộng lớn đối với việc thăm dò những số chẵn vì vậy so với vấn đề này tao rất có thể tổ chức thăm dò những số lẻ kể từ cơ suy rời khỏi những số chẵn.
Số những số lẻ có 4">44 chữ số không giống nhau là: \(4.6.A_6^2 = 720\) 
Vậy số những số chẵn với \(4\) chữ số không giống nhau cần thiết thăm dò là:
\(1470 - 720 = 750\) (số).
* Số những số với \(4\) chữ số không giống nhau phân tách không còn mang lại \(5\).
Vì số cần thiết thăm dò phân tách không còn mang lại \(5\) nên chữ số tận nằm trong rất có thể là \(0\) hoặc \(5\).
+ Nếu chữ số tận nằm trong là \(0\) thì số những số với \(4\) chữ số không giống nhau phân tách không còn mang lại \(5\) là: \(1.7.A_6^2 = 210\) (số).
+ Nếu chữ số tận nằm trong là \(5\) thì số những số với \(4\) chữ số không giống nhau phân tách không còn mang lại \(5\) là: \(1.6.A_6^2 = 180\) (số).
Vậy số những số cần thiết thăm dò với \(4\) chữ số không giống nhau phân tách không còn mang lại \(5\) là: \(210 + 180 = 390\) (số)
b) Số cơ hội lựa chọn địa điểm chữ số \(5\) là \(4\)
Số cơ hội lựa chọn \(3\) chữ số sót lại (có cả chữ số 0">00 đứng đầu) là \(A_7^3\)
Hơn nữa tao lại có: \(3.C_8^2.C_5^2.C_3^1 + C_8^1.C_5^2.C_3^1 + C_8^1.C_5^1.{C^{32}} = 780\) số với \(4\) chữ số không giống nhau nhất thiết xuất hiện chữ số \(5\) và chữ số \(0\) đứng đầu.
 Vậy số những số có\(4\) chữ số không giống nhau nhât thiết xuất hiện chữ số \(5\) là:
\(4.A_7^3 - 3.A_6^2 = 840 - 90 = 750\)
 c) Vì số cần thiết thăm dò nhỏ rộng lớn \(4000\) nên chữ số mặt hàng ngàn với \(3\) cách lựa chọn. Số cơ hội lựa chọn \(3\) chữ số sót lại là: \(A_7^3 = 210\).
 Vậy số những số cần thiết thăm dò với \(4\) chữ số không giống nhau nhỏ rộng lớn \(4000\)là: \(3.210 = 630\) (số)

BÀI TẬP TỰ GIẢI:
Bài 1: 
Từ các chữ số \(0;2;3;4;5;7;8\)
1. Lập được từng nào số ngẫu nhiên chẵn có 3 chữ số.
2. Lập được từng nào số ngẫu nhiên chẵn có 3 chữ số sự khác biệt.
3. Lập được từng nào số ngẫu nhiên có 5 chữ số nhập đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì bằng nhau.
4. Lập được từng nào số ngẫu nhiên có 5 chữ số sự khác biệt mà tổng nhị chữ số hàng chục và đơn vị bằng 7.
5. Lập được từng nào số ngẫu nhiên có 5 chữ số sự khác biệt mà tổng tía chữ số hàng trăm, chục và đơn vị bằng 9.
Bài 2: 
Một tổ học sinh gồm 8 phái mạnh và 3 nữ, giáo viên chủ nhiệm cần chọn rời khỏi 4 em để lên đường lao động, hỏi có từng nào cách chọn, nếu:
1. Chọn học sinh nào cũng được.
2. Trong 4 học sinh được chọn có duy nhất 1 học sinh phái mạnh.
3. Trong 4 học sinh được chọn, có ít nhất 1 học sinh nữ.
4. Trong 4 học sinh được chọn, có nhiều nhất 2 học sinh phái mạnh.
5. Trong số học sinh được chọn thì số phái mạnh luôn luôn nhiều rộng lớn số nữ.
Bài 3: 
Có từng nào cơ hội phân tách luyện \(A\) gồm 10 thành phần trở thành 2 tập kết thành viên khác trống rỗng.
Bài 4: 
Có trăng tròn học tập sinh; nhập cơ với 4 cặp sinh song. Chọn rời khỏi 3 học viên sao mang lại không tồn tại cặp sinh song này. Hỏi với từng nào cách?
Bài 5: 
Một ngân hàng ý hỏi gồm 5 ý hỏi khó, 6 ý hỏi trung bình và 7 ý hỏi dễ. Hỏi có thể lập được từng nào đề thi đua, mỗi đề gồm 5 ý hỏi sao cho:
1. Đề thi đua có 3 câu dễ, 1 câu trung bình và 1 câu khó.
2. Đề thi đua có 2 câu dễ, 2 câu trung bình và 1 câu khó.
3. Đề thi đua nhất thiết có đủ 3 loại ý hỏi và số ý hỏi dễ ko ít rộng lớn 2.
Bài 6: 
Tìm những số ngẫu nhiên phân tách không còn mang lại 2 và với 5 chữ số sao mang lại chữ số đứng sau to hơn chữ số đứng ngay tắp lự trước.
Bài 7: 
Lập được từng nào số ngẫu nhiên với 8 chữ số kể từ \(1;2;3;4;5;6\) trong cơ chữ số 1 và 6 xuất hiện 2 lần; những chữ số không giống xuất hiện đích 1 đợt.
Bài 8:
Có từng nào số ngẫu nhiên với 9 chữ số; nhập cơ với tía chữ số lẻ không giống nhau; 3 chữ số chẵn không giống nhau nhưng mà từng chữ số chẵn xuất hiện đích gấp đôi.
Bài 9:
Có từng nào số ngẫu nhiên với 6 chữ số không giống nhau; sao mang lại 2 chữ số kề nhau ko nằm trong là chữ số lẻ.
Bài 10:
Cho \(0;1;...;7\). Có từng nào số ngẫu nhiên chẵn; với 6 chữ số không giống nhau và luôn luôn xuất hiện chữ số 4.

Luyện Bài luyện trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay