Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Nhắc lại hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Bạn đang xem: hệ thức lượng trong tam giác

Cho tam giác $ABC$ vuông góc bên trên đỉnh $A$ ($\widehat{A} = 90^0$), tao có:

1. ${b^2} = ab';{c^2} = a.c'$

2. Định lý Pitago : ${a^2} = {b^2} + {c^2}$

3. $a.h = b.c$

4. $h^2= b’.c’$

5. $\dfrac{1}{h^{2}}$ = $\dfrac{1}{b^{2}}$ + $\dfrac{1}{c^{2}}$

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh vày tổng những bình phương của nhị cạnh sót lại trừ cút nhị phen tích của nhị cạnh ê nhân với $cosin$ của góc xen thân ái bọn chúng.

Ta sở hữu những hệ thức sau:

$$\eqalign{
& {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A \, \, (1) \cr
& {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B \, \, (2) \cr
& {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C \, \, (3) \cr} $$

Hệ trái khoáy của ấn định lí cosin:

$\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$\cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Áp dụng: Tính chừng nhiều năm đàng trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác $ABC$ sở hữu những cạnh $BC = a, CA = b$ và $AB = c$. Gọi $m_a,m_b$ và $m_c$ là chừng nhiều năm những đàng trung tuyến theo lần lượt vẽ kể từ những đỉnh $A, B, C$ của tam giác. Ta có

${m_{a}}^{2}$ = $\dfrac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}$

${m_{b}}^{2}$ = $\dfrac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}$

${m_{c}}^{2}$ = $\dfrac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}$

2. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác $ABC$ ngẫu nhiên, tỉ số thân ái một cạnh và sin của góc đối lập với cạnh ê vày 2 lần bán kính của đàng tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác, nghĩa là

$\dfrac{a}{\sin A}= \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$

với $R$ là nửa đường kính đàng tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác

Công thức tính diện tích S tam giác

Diện tích $S$ của tam giác $ABC$ được xem theo đòi một trong số công thức sau

Xem thêm: sự vật

$S = \dfrac{1}{2} ab \sin C= \dfrac{1}{2} bc \sin A $ $= \dfrac{1}{2}ca \sin B \, \,(1)$

$S = \dfrac{abc}{4R}\, \,(2)$

$S = pr\, \,(3)$

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ (công thức Hê - rông) $(4)$

Trong đó:$BC = a, CA = b$ và $AB = c$; $R, r$ là nửa đường kính đàng tròn trĩnh nước ngoài tiếp, bk đàng tròn trĩnh nội tiếp và $S$ là diện tích S tam giác ê.

3. Giải tam giác và phần mềm vô việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là đi tìm kiếm những nhân tố (góc, cạnh) không biết của tam giác Lúc vẫn biết một trong những nhân tố của tam giác ê.

Muốn giải tam giác tao cần thiết mò mẫm ông tơ contact trong số những góc, cạnh vẫn mang đến với những góc, những cạnh không biết của tam giác trải qua những hệ thức và được nêu vô ấn định lí cosin, ấn định lí sin và những công thức tính diện tích S tam giác.

Các Việc về giải tam giác: Có 3 Việc cơ bạn dạng về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác lúc biết một cạnh và nhị góc.

=> Dùng ấn định lí sin nhằm tính cạnh sót lại.

b) Giải tam giác lúc biết nhị cạnh và góc xen giữa

=> Dùng ấn định lí cosin nhằm tính cạnh loại tía.

Sau ê người sử dụng hệ trái khoáy của ấn định lí cosin nhằm tính góc.

c) Giải tam giác lúc biết tía cạnh

Đối với Việc này tao dùng hệ trái khoáy của ấn định lí cosin nhằm tính góc:

$\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Chú ý:

1. Cần Note là 1 trong tam giác giải được Lúc tao biết 3 nhân tố của chính nó, vô ê nên sở hữu tối thiểu một nhân tố chừng nhiều năm (tức là nhân tố góc ko được quá 2)

2. Việc giải tam giác được dùng vô những Việc thực tiễn, nhất là những Việc đo lường.