Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Nhắc lại hệ thức lượng nhập tam giác vuông.

Bạn đang xem: hệ thức lượng

Cho tam giác $ABC$ vuông góc bên trên đỉnh $A$ ($\widehat{A} = 90^0$), tớ có:

1. ${b^2} = ab';{c^2} = a.c'$

2. Định lý Pitago : ${a^2} = {b^2} + {c^2}$

3. $a.h = b.c$

4. $h^2= b’.c’$

5. $\dfrac{1}{h^{2}}$ = $\dfrac{1}{b^{2}}$ + $\dfrac{1}{c^{2}}$

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh vì như thế tổng những bình phương của nhì cạnh sót lại trừ chuồn nhì chuyến tích của nhì cạnh ê nhân với $cosin$ của góc xen thân thiết bọn chúng.

Ta với những hệ thức sau:

$$\eqalign{
& {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A \, \, (1) \cr
& {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B \, \, (2) \cr
& {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C \, \, (3) \cr} $$

Hệ trái ngược của toan lí cosin:

$\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$\cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Áp dụng: Tính phỏng lâu năm đàng trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác $ABC$ với những cạnh $BC = a, CA = b$ và $AB = c$. Gọi $m_a,m_b$ và $m_c$ là phỏng lâu năm những đàng trung tuyến theo lần lượt vẽ kể từ những đỉnh $A, B, C$ của tam giác. Ta có

${m_{a}}^{2}$ = $\dfrac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}$

${m_{b}}^{2}$ = $\dfrac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}$

${m_{c}}^{2}$ = $\dfrac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}$

2. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác $ABC$ ngẫu nhiên, tỉ số thân thiết một cạnh và sin của góc đối lập với cạnh ê vì như thế 2 lần bán kính của đàng tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác, nghĩa là

$\dfrac{a}{\sin A}= \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$

với $R$ là nửa đường kính đàng tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác

Công thức tính diện tích S tam giác

Diện tích $S$ của tam giác $ABC$ được xem theo gót một trong những công thức sau

Xem thêm: các hình học

$S = \dfrac{1}{2} ab \sin C= \dfrac{1}{2} bc \sin A $ $= \dfrac{1}{2}ca \sin B \, \,(1)$

$S = \dfrac{abc}{4R}\, \,(2)$

$S = pr\, \,(3)$

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ (công thức Hê - rông) $(4)$

Trong đó:$BC = a, CA = b$ và $AB = c$; $R, r$ là nửa đường kính đàng tròn trĩnh nước ngoài tiếp, bk đàng tròn trĩnh nội tiếp và $S$ là diện tích S tam giác ê.

3. Giải tam giác và phần mềm nhập việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là đi tìm kiếm những nhân tố (góc, cạnh) không biết của tam giác Khi đang được biết một trong những nhân tố của tam giác ê.

Muốn giải tam giác tớ cần thiết thám thính côn trùng tương tác Một trong những góc, cạnh đang được cho tới với những góc, những cạnh không biết của tam giác trải qua những hệ thức đã và đang được nêu nhập toan lí cosin, toan lí sin và những công thức tính diện tích S tam giác.

Các vấn đề về giải tam giác: Có 3 vấn đề cơ phiên bản về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác lúc biết một cạnh và nhì góc.

=> Dùng toan lí sin nhằm tính cạnh sót lại.

b) Giải tam giác lúc biết nhì cạnh và góc xen giữa

=> Dùng toan lí cosin nhằm tính cạnh loại phụ thân.

Sau ê người sử dụng hệ trái ngược của toan lí cosin nhằm tính góc.

c) Giải tam giác lúc biết phụ thân cạnh

Đối với vấn đề này tớ dùng hệ trái ngược của toan lí cosin nhằm tính góc:

$\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Chú ý:

1. Cần cảnh báo là một trong tam giác giải được Khi tớ biết 3 nhân tố của chính nó, nhập ê nên với tối thiểu một nhân tố phỏng lâu năm (tức là nhân tố góc ko được quá 2)

2. Việc giải tam giác được dùng nhập những vấn đề thực tiễn, nhất là những vấn đề đo lường.