hàm số là gì

Trong toán học tập, một hàm số^{[note 1]} hoặc hàm là 1 trong những mối liên hệ nhì ngôi thân thiết nhì tụ tập links từng thành phần của tụ tập thứ nhất với đích một thành phần của tụ tập loại nhì. Ví dụ điển hình nổi bật là những hàm kể từ số vẹn toàn lịch sự số vẹn toàn hoặc kể từ số thực lịch sự số thực.

Bạn đang xem: hàm số là gì

Các hàm số lúc đầu là sự việc hoàn hảo hóa cơ hội một đại lượng thay cho thay đổi tùy theo một đại lượng không giống. Ví dụ, địa điểm của một hành tinh ranh là 1 trong những hàm số của thời hạn. Về mặt mày lịch sử dân tộc, định nghĩa này được kiến thiết dựa vào luật lệ tính vi tích phân nhập vào cuối thế kỷ 17, và cho tới thế kỷ 19, những hàm được xem là khả vi (nghĩa là bọn chúng sở hữu cường độ mịn cao). Khái niệm hàm số được đầu tiên hóa nhập vào cuối thế kỷ 19 bên dưới dạng lý thuyết tụ tập, và điều này đang được không ngừng mở rộng đáng chú ý những nghành nghề dịch vụ phần mềm của định nghĩa này.

Một hàm số là 1 trong những quy trình hoặc một quan hệ tuy nhiên links từng thành phần x của một tụ tập X, được gọi là miền xác định của hàm số, cho tới một thành phần y độc nhất của một tụ tập Y (có thể là và một tụ tập như X), và gọi là tập ăn ý đích của hàm số này. Hàm số thông thường được ký hiệu bởi vì những vần âm như f, g và h.^[1]

Nếu hàm được gọi là f, mối liên hệ này được ký hiệu là y = f (x) (đọc là " f của x "), nhập cơ thành phần x là đối số hoặc đầu vào của hàm và y là giá trị của hàm, đầu ra hoặc ảnh của x theo dõi f .^[2] Ký hiệu được dùng nhằm màn biểu diễn nguồn vào là trở thành của hàm (ví dụ: f là hàm của trở thành x).^[3]

Một hàm số được màn biểu diễn độc nhất bởi vì tụ tập toàn bộ những cặp số (x, f (x)), được gọi là đồ dùng thị của hàm số. ^{[note 2][4]} Khi miền và miền là tụ tập những số thực, từng cặp như thế rất có thể được xem là tọa phỏng Descartes của một điểm nhập mặt mày bằng. Tập ăn ý những đặc điểm này được gọi là đồ dùng thị của hàm số; nó là 1 trong những phương tiện đi lại thông dụng nhằm minh họa một hàm số.

Các hàm số được dùng rộng thoải mái nhập khoa học tập và nhập đa số những nghành nghề dịch vụ toán học tập. Người tớ đang được bảo rằng những hàm là "đối tượng trung tâm của nghiên cứu" nhập đa số những nghành nghề dịch vụ toán học tập.^[5]

Khái niệm[sửa | sửa mã nguồn]

Nói một cơ hội trực quan tiền, hàm là 1 trong những quy trình links từng thành phần của tụ tập X với cùng một thành phần của tụ tập Y.

Về mặt mày mẫu mã, một hàm f kể từ tập luyện X cho tới tập luyện Y được xác lập bởi vì tập luyện G bao gồm những cặp sở hữu trật tự (x, y) sao cho tới x ∈ X, y ∈ Y, và từng thành phần của X là bộ phận thứ nhất của đích một cặp sở hữu trật tự ghép song nhập G ^{[6] [note 3]} Nói cách tiếp, với từng x nhập X, sở hữu đích một thành phần y sao cho tới cặp sở hữu trật tự (x, y) nằm trong tập luyện những cặp xác lập hàm f . Tập ăn ý G được gọi là đồ dùng thị của hàm số. Về mặt mày mẫu mã, nó rất có thể được xác lập với hàm số bên trên, tuy nhiên điều này bao phủ ỉm cơ hội lý giải thường thì về một tính năng như 1 quy trình. Do cơ, nhập cơ hội dùng thường thì, hàm số thông thường được phân biệt với đồ dùng thị của chính nó.

Hàm còn được gọi là ánh xạ, tuy nhiên một trong những người sáng tác phân biệt thân thiết "ánh xạ" và "hàm số".

Trong khái niệm về hàm số, X và Y ứng được gọi là tập/miền xác định và tập đích/ miền giá bán trị của hàm f ^[7] Nếu (x, y) nằm trong tập luyện xác lập f, thì y là ảnh của x trải qua f, hoặc giá trị của f được vận dụng cho tới đối số x . điều đặc biệt, nhập văn cảnh của những số lượng, người tớ cũng bảo rằng y là độ quý hiếm của f so với giá trị x của trở thành của nó, hoặc cụt gọn gàng rộng lớn, y là giá trị của f của x, được ký hiệu là y = f(x) .

Hai hàm f và g là cân nhau, nếu như miền và tụ tập miền xác lập của bọn chúng như là nhau và độ quý hiếm Output đầu ra của bọn chúng như là nhau bên trên toàn miền xác lập cơ. Chính thức rộng lớn, f = g nếu như f(x) = g(x) với từng x ∈ X, nhập cơ f:X → Y và g:X → Y ^{[8] [9] [note 4]}

Miền xác lập và miền độ quý hiếm ko cần khi nào là cũng rất được hỗ trợ rõ nét Khi một hàm được xác lập và, nếu như không tồn tại một trong những đo lường và tính toán (có thể khó), người tớ rất có thể chỉ hiểu được miền được chứa chấp nhập một tụ tập to hơn. Thông thông thường, điều này xẩy ra nhập giải tích toán học tập, nhập cơ "một hàm từ X cho tới Y " thông thường nhắc đến một hàm rất có thể sở hữu một tập luyện con cái mến hợp^{[note 5]} của X là miền xác lập. Ví dụ, một "hàm kể từ độ quý hiếm thực cho tới độ quý hiếm thực" rất có thể tham lam chiếu cho tới một hàm có mức giá trị thực của một trở thành thực. Tuy nhiên, một "hàm kể từ số thực cho tới số thực" ko Có nghĩa là miền của hàm là toàn cỗ tập luyện những số thực, tuy nhiên chỉ mất nghĩa miền là tập luyện những số thực sở hữu chứa chấp khoảng tầm cởi ko trống rỗng. Khi cơ một hàm như thế được gọi là hàm một trong những phần. Ví dụ: nếu như f là 1 trong những hàm sở hữu những số thực là miền xác lập và miền độ quý hiếm, thì một hàm ánh xạ độ quý hiếm x với độ quý hiếm là 1 trong những hàm g kể từ miền số thực cho tới miền số thực, sở hữu miền xác lập là tập luyện những số thực x, sao cho tới f(x) ≠ 0 .

Phạm vi của một hàm là tụ tập những hình họa của toàn bộ những thành phần nhập miền.^[10][11][12] Tuy nhiên, phạm vi nhiều khi được dùng như 1 kể từ đồng nghĩa tương quan của miền độ quý hiếm,^[12][13] hay sử dụng trong số sách cũ.

Định nghĩa người sử dụng quan tiền hệ[sửa | sửa mã nguồn]

Bất kỳ tập luyện con cái nào là của tích Descartes bao gồm nhì tụ tập và xác lập một mối liên hệ nhì ngôi thân thiết nhì tụ tập này. Rõ ràng là 1 trong những mối liên hệ tùy ý rất có thể chứa chấp những đôi bạn trẻ vi phạm những ĐK quan trọng cho 1 hàm số đang được cho tới phía trên.

Một mối liên hệ nhì ngôi là sở hữu tính hàm số (còn được gọi là độc nhất mặt mày phải) nếu

Một mối liên hệ nhị phân là sở hữu tính tiếp nối đuôi nhau (còn được gọi là tổng mặt mày trái) nếu

Một hàm một trong những phần là 1 trong những mối liên hệ nhì ngôi tuy nhiên sở hữu tính hàm số..

Một hàm số là 1 trong những mối liên hệ nhì ngôi sở hữu tính hàm số và tiếp nối đuôi nhau.

Các tính chất không giống nhau của hàm số và bộ phận hàm số rất có thể được định hình lại bởi vì ngữ điệu của những mối liên hệ. Ví dụ, một hàm số là đơn ánh nếu như mối liên hệ ngược là sở hữu tính hàm số, nhập cơ mối liên hệ ngược được khái niệm là ^[14]

Cách cho tới hàm số[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm số rất có thể được cho tới bởi vì bảng hoặc bởi vì biểu đồ dùng hoặc bởi vì 1 biểu thức hoặc nhiều biểu thức bên trên từng khoảng tầm, đoạn, nửa khoảng tầm.

Ví dụ: X = {1,2,3,4,5}, Y = {5,6,7,8,9,10}.

Hàm được cho tới bảng sau:

Các hàm cho tới bởi vì biểu thức như , , ...

Lưu ý: Trong công tác môn Toán ở bậc Trung học tập phổ thông của nước Việt Nam (chỉ nhắc đến Hàm số trở thành số thực) quy ước rằng:

• Khi ko phân tích tăng, miền xác lập (tập xác định) của hàm số cho tới bởi vì biểu thức nó = f(x) là tụ tập toàn bộ những độ quý hiếm của x thực hiện cho tới f(x) sở hữu nghĩa.

Ví dụ: Hàm số sở hữu miền xác lập là hoặc

Hàm số sở hữu miền xác lập là

Ví dụ: Miền độ quý hiếm của hàm số là .

• Nếu X,Y thì hàm số được gọi là hàm số thực.

Ví dụ: Hàm lượng giác ,hàm nón ,...

• Nếu X,Y thì hàm số được gọi là hàm số trở thành số phức.

Ví dụ: Hàm xê dịch ;

• Nếu X thì hàm số được gọi là hàm số số học tập.

Ví dụ: Hàm Euler màn biểu diễn số những số bất ngờ ko vượt lên quá n và thành phần bên cạnh nhau với n, hàm Sigma màn biểu diễn tổng toàn bộ những ước của số bất ngờ n...

Các dạng của hàm số[sửa | sửa mã nguồn]

Đơn ánh, tuy vậy ánh, toàn ánh[sửa | sửa mã nguồn]

Như bên trên đang được nhắc, hàm số là 1 trong những tình huống ánh xạ, nên người tớ cũng mô tả hàm số bên dưới 3 dạng là đơn ánh, toàn ánh và tuy vậy ánh.

Đơn ánh[sửa | sửa mã nguồn]

Một hàm số là đơn ánh Khi nó vận dụng lên 2 đối số không giống nhau luôn luôn cho tới 2 độ quý hiếm không giống nhau.

Một cơ hội nghiêm ngặt, hàm f, xác lập bên trên X và nhận độ quý hiếm nhập Y, là đơn ánh nếu mà nó thỏa mãn nhu cầu ĐK với từng x₁ và x₂ nằm trong X và nếu như x₁ ≠ x₂ thì f(x₁) ≠ f(x₂).

Nghĩa là, hàm số f là đơn ánh Khi và chỉ khi:

Với đồ dùng thị hàm số nó = f(x) nhập hệ tọa phỏng Đề những, từng đường thẳng liền mạch vuông góc với trục đối số Ox tiếp tục chỉ hạn chế lối cong đồ dùng thị bên trên tối đa là 1 trong những điểm

Toàn ánh[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm số f được gọi là toàn ánh nếu mà với từng số y nằm trong Y tớ luôn luôn tìm kiếm ra tối thiểu một trong những x nằm trong X sao cho tới f(x) = y. Theo cơ hội gọi của ánh xạ thì ĐK này Có nghĩa là từng thành phần y nằm trong Y đều là ảnh của tối thiểu một tạo ảnh x nằm trong X qua loa ánh xạ f.

Xem thêm: phân tử khối là gì

Nghĩa là, hàm số f là toàn ánh Khi và chỉ khi:

cũng tức là

Đồ thị hàm hạn chế đường thẳng liền mạch

Song ánh[sửa | sửa mã nguồn]

Trong toán học tập, song ánh, hoặc hàm tuy vậy ánh, là một hàm số f từ tập X vào tập Y thỏa mãn đặc thù, so với mỗi y thuộc Y, sở hữu độc nhất một x thuộc X sao cho f(x) = y.

Nói cách tiếp, f là một tuy vậy ánh nếu như và chỉ nếu như nó là tương ứng một-một giữa nhì tập luyện hợp; tức là nó vừa vặn là đơn ánh và vừa vặn là toàn ánh.

Ví dụ, xét hàm fxác ấn định bên trên tập luyện hợp số nguyên  vào, được ấn định nghĩa f(x) = x + 1. Ví dụ không giống, so với từng cặp số thực (x,y) hàm f xác ấn định bởi f(x,y) = (x + y, x − y) là một song ánh

Hàm tuy vậy ánh nhiều khi còn gọi là hoán vị.

Tập ăn ý toàn bộ những tuy vậy ánh kể từ tập X vào tập Y được ký hiệu là X ↔ Y. Thông thông thường tập luyện những hoạn của tập X được ký hiệu là X!.

Song ánh đóng góp nhiều tầm quan trọng cần thiết nhập toán học tập, như nó dùng để làm ấn định nghĩa đẳng cấu (và những định nghĩa tương quan như phép đồng phôi và vi phôi), nhóm hoạn, ánh xạ xạ hình họa, và nhiều khái niệm khác

Minh hoạ[sửa | sửa mã nguồn]

Đơn ánh tuy nhiên không cần toàn ánh		Toàn ánh nhưng không cần đơn ánh		Song ánh

Hàm ăn ý và hàm ngược[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm hợp[sửa | sửa mã nguồn]

Cho những hàm số:

trong cơ X, Y, Z là những tụ tập số thưa cộng đồng. Hàm hợp của f₁ và f₂ là hàm số:

được khái niệm bởi:

Có thể ký hiệu hàm ăn ý là:

Ví dụ, hàm số f(x) = sin (x²+1) là hàm số ăn ý f₂(f₁(x)), nhập cơ f₂(y) = sin(y), f₁(x) = (x² +1).

Việc phân biệt một hàm số là hàm ăn ý của những hàm không giống, trong tương đối nhiều tình huống rất có thể khiến cho những đo lường và tính toán giải tích (đạo hàm, vi phân, tích phân) trở thành giản dị và đơn giản rộng lớn.

Hàm ngược[sửa | sửa mã nguồn]

Cho hàm số tuy vậy ánh:

trong cơ X, Y là tụ tập số thưa cộng đồng.Khi cơ từng thành phần y = f(x) với y trực thuộc Y đều là hình họa của một và duy nhất thành phần x nhập X. Như vậy, rất có thể đặt điều ứng từng thành phần y nhập Y với cùng một thành phần x nhập X. Phép ứng này đã xác lập một hàm số, ánh xạ kể từ Y lịch sự X, hàm số này được gọi là hàm số ngược của hàm số f và được ký hiệu là:

Nếu f⁻¹(x) tồn bên trên tớ thưa hàm số f(x) là khả nghịch. cũng có thể thưa đặc thù tuy vậy ánh là ĐK cần thiết và đầy đủ nhằm hàm f(x) khả nghịch ngợm, tức là nếu như f(x) là tuy vậy ánh thì tớ luôn luôn tìm kiếm ra hàm ngược f⁻¹(x) và ngược lại.

Đồ thị của hàm số[sửa | sửa mã nguồn]

Thông thông thường thì hàm số được xác lập bởi vì một biểu thức tổng quát mắng y = f(x) nào là cơ, ví như y = x² - 5. Tuy nhiên cũng đều có những hàm đặc trưng tuy nhiên quy tắc cho tới ứng x với y của chính nó không áp theo ngẫu nhiên một quy luật nào là nhằm rất có thể miêu tả bởi vì một biểu thức toán học tập. Trong tình huống này tớ rất có thể lập bảng cho những độ quý hiếm đối số x và những độ quý hiếm hàm số y ứng với bọn chúng. Bên cạnh đó hàm số còn rất có thể được xác lập một cơ hội triệt nhằm bởi vì đồ thị của chính nó.

Đối với hàm số một trở thành số thực (có miền xác lập thực), đồ dùng thị hàm số được khái niệm như sau:

Đồ thị của hàm số y = f(x) là tụ tập những điểm bên trên mặt mày bằng R² sở hữu tọa phỏng [x, f(x)].

Ký hiệu đồ dùng thị hàm số theo dõi khái niệm bên trên là:

Các đặc thù của hàm số[sửa | sửa mã nguồn]

Tính đơn điệu[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử hàm số y= f(x) xác lập bên trên K. Ta nói:

Tính chẵn lẻ[sửa | sửa mã nguồn]

Điều khiếu nại nhằm một hàm số chẵn hoặc lẻ[sửa | sửa mã nguồn]

Cho hàm số y=f(x) xác lập bên trên D

1. Điều khiếu nại tiên quyết nhằm hàm số sở hữu tính chẵn lẻ là tập luyện xác lập của hàm số cần đối xứng qua loa điểm 0, tức là
2. Để hàm số sẽ là chẵn cần thiết tăng ĐK f(-x) = f(x)
3. Để hàm số sẽ là lẻ cần thiết tăng ĐK f(-x) = -f(x)
4. Nếu thiếu hụt ĐK 1 hoặc cả nhì ĐK 2 và 3 thì coi như hàm số không tồn tại tính chẵn lẻ.

Đồ thị của hàm số chẵn và hàm số lẻ[sửa | sửa mã nguồn]

Trong mặt mày bằng tọa phỏng Descartes:

Xem thêm: toluen + br2

• Đồ thị của từng hàm số chẵn đều nhận trục Oy thực hiện trục đối xứng.
• Đồ thị của từng hàm số lẻ đều nhận gốc tọa phỏng thực hiện tâm đối xứng.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

1. ^ The words map, mapping, transformation, correspondence, and operator are often used synonymously. Halmos 1970.
2. ^ This definition of "graph" refers đồ sộ a set of pairs of objects. Graphs, in the sense of diagrams, are most applicable đồ sộ functions from the real numbers đồ sộ themselves. All functions can be described by sets of pairs but it may not be practical đồ sộ construct a diagram for functions between other sets (such as sets of matrices).
3. ^ The sets X, Y are parts of data defining a function; i.e., a function is a phối of ordered pairs with , together with the sets X, Y, such that for each , there is a unique with in the phối.
4. ^ This follows from the axiom of extensionality, which says two sets are the same if and only if they have the same members. Some authors drop codomain from a definition of a function, and in that definition, the notion of equality has đồ sộ be handled with care; see, for example, “When vì thế two functions become equal?”. Stack Exchange. ngày 19 mon 8 năm năm ngoái.
5. ^ called the domain of definition by some authors, notably computer science