Đường tròn

Trong hình học tập phẳng lặng, đường tròn (hoặc vòng tròn) là tập trung của toàn bộ những điểm bên trên một phía phẳng lặng, cơ hội đều một điểm cho tới trước bởi một khoảng cách này bại liệt. Điểm cho tới trước gọi là tâm của lối tròn xoe, còn khoảng tầm cho tới trước gọi là bán kính của lối tròn xoe.

Bạn đang xem: đường tròn là gì

Đường tròn xoe tâm O nửa đường kính R ký hiệu là (O;R)

Đường tròn xoe là một trong hình kín giản dị phân chia mặt mày phẳng lặng đi ra thực hiện 2 phần: phần viền vô và phần phía bên ngoài. Trong khi "đường tròn" ranh giới của hình, "hình tròn" bao hàm cả ranh giới và phần viền vô.

Đường tròn xoe cũng rất được khái niệm là một trong hình elíp đặc biệt quan trọng với nhị chi phí điểm trùng nhau và tâm sai bởi 0. Đường tròn xoe cũng chính là hình xung quanh nhiều diện tích S nhất bên trên từng đơn vị chức năng chu vi bình phương.

Một số thuật ngữ[sửa | sửa mã nguồn]

Cung: một quãng đóng góp bất kì bên trên lối tròn xoe. Cung AB ký hiệu là
Dây cung (gọi tắt là dây): đoạn trực tiếp với 2 đầu mút phía trên lối tròn xoe.
Tâm: điểm cơ hội đều toàn bộ những điểm bên trên lối tròn xoe.
Chu vi hình tròn: chừng nhiều năm đường biên giới số lượng giới hạn hình trụ.
Bán kính: là đoạn trực tiếp (hoặc chừng nhiều năm đoạn thẳng) nối tâm với cùng 1 điểm bất kì bên trên lối tròn xoe và bởi 1/2 2 lần bán kính.
Đường kính: đoạn trực tiếp (hoặc chừng nhiều năm đoạn thẳng) với 2 đầu mút phía trên lối tròn xoe và là chão cung trải qua tâm, hoặc khoảng cách nhiều năm nhất đằm thắm 2 điểm bên trên lối tròn xoe. Đường kính là chão cung nhiều năm nhất của lối tròn xoe và bởi gấp đôi nửa đường kính.
Cát tuyến: đường thẳng liền mạch bên trên mặt mày phẳng lặng hạn chế lối tròn xoe bên trên 2 điểm.
Tiếp tuyến: đường thẳng liền mạch xúc tiếp với lối tròn xoe bên trên một điểm độc nhất.
Hình tròn: phần mặt mày phẳng lặng số lượng giới hạn bởi lối tròn xoe.
Hình khuyên răn (hình nhẫn hoặc hình vòng khăn): vùng bị số lượng giới hạn bởi 2 lối tròn xoe đồng tâm và với nửa đường kính không giống nhau.
Hình quạt tròn: phần hình tròn giới hạn bởi hai bán kính và cung tròn bị chắn bởi nhị nửa đường kính này.
Hình viên phân: phần bị số lượng giới hạn bởi cung tròn xoe và chão căng cung.
Hình phân phối nguyệt: cung căng 2 lần bán kính. Thông thông thường, thuật ngữ này còn bao hàm 2 lần bán kính, cung căng 2 lần bán kính và phần viền vô, tức nửa hình trụ.
Đường tròn xoe nước ngoài tiếp nhiều giác là lối tròn xoe trải qua toàn bộ những đỉnh của nhiều giác bại liệt. Khi bại liệt gọi là nhiều giác nội tiếp lối tròn
Đường tròn xoe nội tiếp nhiều giác là lối tròn xoe xúc tiếp với toàn bộ những cạnh của nhiều giác bại liệt. Khi bại liệt gọi là nhiều giác nước ngoài tiếp lối tròn

Sự xác lập lối tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Một lối tròn xoe được xác lập lúc biết tâm và nửa đường kính của chính nó, hoặc lúc biết một quãng trực tiếp là 2 lần bán kính của chính nó.

Qua 3 điểm ko trực tiếp mặt hàng, tớ hoàn toàn có thể vẽ được một và có một lối tròn xoe.

Hình tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Trong hình học tập phẳng lặng, lối tròn xoe và hình trụ là nhị định nghĩa không giống nhau. Hình tròn xoe là tập trung toàn bộ những điểm trực thuộc và phía trên lối tròn xoe hoặc tập trung những điểm cơ hội tâm một khoảng tầm nhỏ rộng lớn hoặc bởi nửa đường kính. Đường tròn xoe không tồn tại diện tích S như hình trụ.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Từ circle với xuất xứ kể từ giờ đồng hồ Hy Lap κίρκος/κύκλος (kirkos/kuklos), tức là "vòng" hoặc "nhẫn".^[1]

Đường tròn xoe trong mỗi bạn dạng vẽ thiên văn Ả Rập cổ.

Đường tròn xoe đã và đang được biết tới từ trước lúc lịch sử dân tộc ghi có được. Những hình trụ vô đương nhiên hẳn đã và đang được để ý, ví như Mặt Trăng, Mặt Trời... Đường tròn xoe là nền tảng nhằm cải tiến và phát triển bánh xe cộ, tuy nhiên cùng theo với những sáng tạo tương tự động như bánh răng, là bộ phận cần thiết vô công cụ tân tiến. Trong toán học tập, việc phân tích lối tròn xoe tiếp tục dẫn tới việc cải tiến và phát triển của hình học tập, thiên văn học tập và vi tích phân.

Khoa học tập nguyên sơ, nhất là hình học tập, thiên văn học tập và chiêm tinh nghịch học tập, thông thường được rất nhiều học tập fake thời trung thế kỉ liên kết với thánh thần, và nhiều người tin tưởng rằng với gì bại liệt "thiêng liêng" và "hoàn hảo" ở hình trụ.^[2]^[3]

Một số vệt mốc vô lịch sử dân tộc lối tròn:

Năm 1700 trước Công nguyên– Bản giấy má cói Rhind thể hiện cách thức nhằm tính diện tích S hình trụ. Kết trái ngược tương tự với 256/81 (3.16049...) như 1 độ quý hiếm xấp xỉ của π.^[4]
Năm 300 trước Công nguyên vẹn – Quyển 1, Quyển 3 của cuốn sách Cơ sở của Euclid thể hiện khái niệm và bàn về những đặc điểm của lối tròn xoe.
Trong Bức thư loại bảy của Plato với cùng 1 khái niệm cụ thể và lý giải về lối tròn xoe. Plato ghi chép về một lối tròn xoe tuyệt vời nhất, và sự khác lạ của chính nó với bất kì hình vẽ, lý giải hoặc khái niệm này không giống.
Năm 1880 – Lindemann minh chứng được π là số siêu việt, giải quyết và xử lý hoàn toàn vẹn vấn đề cầu phương hình trụ sau rộng lớn một thiên niên kỷ.^[5]

Đặc điểm[sửa | sửa mã nguồn]

Độ nhiều năm lối tròn xoe (chu vi hình tròn)[sửa | sửa mã nguồn]

Tỉ số của chừng nhiều năm lối tròn xoe với 2 lần bán kính của chính nó là π (pi), một hằng số vô tỉ có mức giá trị xấp xỉ bởi 3.141592654, vậy chu vi của hình trụ (còn được gọi là viên chu), là chừng nhiều năm của lối tròn xoe, bởi tích của pi với 2 lần bán kính hoặc gấp đôi pi nhân với nửa đường kính. Công thức:

Diện tích bao kín[sửa | sửa mã nguồn]

Trong bạn dạng luận Sự đo lường của một hình trụ của Archimedes, diện tích S hình trụ A bởi diện tích S của tam giác với cạnh lòng bởi chu vi lối tròn xoe và lối cao bởi nửa đường kính hình trụ,^[6] tức A bởi π nhân cho tới bình phương phân phối kính:

Tương tự động, ký hiệu 2 lần bán kính là d,

tức khoảng tầm 79% diện tích S hình vuông vắn nước ngoài tiếp lối tròn xoe (với chừng nhiều năm cạnh là d). Đường tròn xoe cũng chính là hình phẳng lặng bao kín nhiều diện tích S nhất với chu vi cho tới trước.

Phương trình[sửa | sửa mã nguồn]

Hệ tọa chừng Descartes[sửa | sửa mã nguồn]

Trong hệ tọa chừng Descartes, vòng tròn xoe với tâm bên trên (a, b) và nửa đường kính r là tập trung toàn bộ những điểm (x, y) thỏa mãn:

Phương trình này, được biết là Phương trình lối tròn xoe, bắt nguồn từ Định lý Pytago vận dụng cho 1 điểm bên trên lối tròn: Như vô hình mặt mày, nửa đường kính là cạnh huyền của một tam giác vuông với 2 cạnh góc vuông |x − a| và |y − b|. Nếu tâm lối tròn xoe nằm ở vị trí gốc tọa chừng (0, 0), thì phương trình được thu gọn gàng thành:

Phương trình hoàn toàn có thể ghi chép bên dưới dạng thông số dùng những nồng độ giác sin và cosine như sau

với t là thông số trong vòng kể từ 0 cho tới 2π, một cơ hội hình học tập, t tương tự với góc tạo ra bởi tia trải qua (a, b), (x, y) và trục x dương.

Một phương trình thông số không giống của lối tròn xoe là:

Tuy nhiên ở sự thông số hóa này, t không những chạy qua loa toàn bộ số thực mà còn phải chạy cho tới vô hạn, nếu như không thì điểm bên dưới nằm trong của lối tròn xoe sẽ không còn được thể hiện nay.

Trong hệ tọa chừng như nhau, từng lối conic với phương trình của lối tròn xoe với dạng:

Hệ tọa chừng cực[sửa | sửa mã nguồn]

Trong hệ tọa chừng đặc biệt phương trình của một lối tròn xoe là:

với a là nửa đường kính của lối tròn xoe, là tọa chừng đặc biệt của một điểm bên trên lối tròn xoe, và là tọa chừng đặc biệt của tâm lối tròn xoe (tức r₀ là khoảng cách kể từ gốc tọa chừng cho tới tâm, và φ góc trái hướng kim đồng hồ thời trang kể từ trục hoành đường thẳng liền mạch trải qua tâm và gốc tọa độ). Với lối tròn xoe với tâm ở gốc tọa chừng, tức r₀ = 0, thì được giản dị hóa còn r = a. Khi r₀ = a, hoặc gốc tọa chừng phía trên lối tròn xoe thì phương trình trở thành:

Trong tình huống tổng quát tháo, tớ hoàn toàn có thể giải phương trình cho tới r

Chú ý rằng nếu như không tồn tại vệt ±, vô một số trong những tình huống phương trình chỉ tế bào mô tả nửa lối tròn xoe.

Mặt phẳng lặng phức[sửa | sửa mã nguồn]

Trong mặt mày phẳng lặng phức, một lối tròn xoe với tâm bên trên c và nửa đường kính (r) với phương trình . Tại dạng thông số hóa: .

Phương trình tổng quát tháo cho những số thực p, q và số phức g nhiều lúc được gọi là lối tròn xoe tổng quát tháo. Phương trình này phát triển thành phương trình phía trên với , vì như thế . Không cần lối tròn xoe tổng quát tháo nào thì cũng là lối tròn xoe thực sự: lối tròn xoe tổng quát tháo hoặc là lối tròn xoe thực sự hoặc là một trong đường thẳng liền mạch.

Đường tiếp tuyến[sửa | sửa mã nguồn]

Đường tiếp tuyến qua loa một điểm P bên trên lối tròn xoe vuông góc 2 lần bán kính trải qua P. Nếu P = (x₁, y₁) và lối tròn xoe với tâm (a, b) và nửa đường kính r, thì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng liền mạch trải qua (a, b) và (x₁, y₁), nên nó với dạng (x₁ − a)x + (y₁ – b)y = c. Tính với (x₁, y₁) xác lập độ quý hiếm của c và thành quả phương trình của lối tiếp tuyến là:

hay

Nếu y₁ ≠ b thì chừng dốc của đường thẳng liền mạch là

Kết trái ngược này cũng hoàn toàn có thể được suy đi ra dùng đạo hàm hàm ẩn.

Xem thêm: mg h2o

Nếu tâm lối tròn xoe nằm ở vị trí gốc tọa chừng thì phương trình tiếp tuyến là và chừng dốc của chính nó là

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Tính hóa học chung[sửa | sửa mã nguồn]

Đường tròn xoe là hình với diện tích S lớn số 1 với chu vi cho tới trước. (Xem Bất đẳng thức đẳng chu)
Đường tròn xoe với tính đối xứng cao: tâm của lối tròn xoe là tâm đối xứng và những 2 lần bán kính là những trục đối xứng
Mọi lối tròn xoe đều đồng dạng.
- Chu vi lối tròn xoe tỉ trọng thuận với nửa đường kính theo dõi hằng số 2π.
- Diện tích hình trụ tỉ trọng thuận với bình phương nửa đường kính theo dõi hằng số π.
Đường tròn xoe với tâm bên trên gốc tọa chừng và nửa đường kính là 1 trong gọi là lối tròn xoe đơn vị chức năng.
- Đường tròn rộng lớn của hình cầu đơn vị chức năng là đường tròn xoe Riemann.
Tập ăn ý toàn bộ những điểm nom đoạn trực tiếp bên dưới 1 góc vuông là lối tròn xoe với 2 lần bán kính là đoạn trực tiếp đó

Dây cung[sửa | sửa mã nguồn]

Dây cung cơ hội đều tâm khi và chỉ khi bọn chúng nhiều năm đều nhau.
Trong và một lối tròn xoe, chão càng nhiều năm thì sẽ càng ngay gần tâm.
Đường kính vuông góc với chão cung bên trên trung điểm của chão cung đó
Đường kính trải qua trung điểm của một chão ko trải qua tâm thì vuông góc với chão.
Đường kính là chão cung nhiều năm nhất vô lối tròn
Nếu uỷ thác điểm nhị chão cung hạn chế nhau chia một chão trở thành nhị đoạn a và b, phân chia chão cung bại liệt thành c và d, thì ab = cd (gọi là phương tích của điểm đó).
Nếu uỷ thác điểm nhị chão cung hạn chế nhau chia một chão trở thành nhị đoạn a và b, phân chia chão cung bại liệt thành m và n, thì a² + b² + m² + n² = d² (với d là lối kính).
Tổng bình phương chiều nhiều năm 2 chão cung vuông góc bên trên một điểm cố định và thắt chặt ko thay đổi và bởi 8r² – 4p² (với r là nửa đường kính lối tròn xoe, p là khoảng cách kể từ tâm lối tròn xoe cho tới uỷ thác điểm đó).
Khoảng cơ hội từ là 1 điểm bên trên lối tròn xoe cho tới một chão cung nữ với 2 lần bán kính bởi tích của khoảng cách điểm bại liệt cho tới 2 đầu mút của chão cung.
2 cung nhỏ của một lối tròn xoe hoặc 2 lối tròn xoe đều nhau căng 2 chão đều nhau thì 2 cung bại liệt đều nhau và ngược lại
Với 2 cung nhỏ của một lối tròn xoe hoặc 2 lối tròn xoe đều nhau, cung này căng chão rộng lớn hơn(hoặc nhỏ nhắn hơn) thì cung bại liệt rộng lớn hơn(hoặc nhỏ nhắn hơn) và ngược lại.

Tiếp tuyến[sửa | sửa mã nguồn]

Đường trực tiếp vuông góc với nửa đường kính bên trên đầu mút của nửa đường kính phía trên lối tròn xoe là một trong lối tiếp tuyến với lối tròn xoe.
Đường trực tiếp vuông góc với tiếp tuyến bên trên điểm xúc tiếp với lối tròn xoe thì trải qua tâm.
Từ một điểm ở ngoài lối tròn xoe luôn luôn vẽ được nhị tiếp tuyến với lối tròn xoe.
Nếu hai tiếp tuyến bên trên A và B với lối tròn xoe tâm O cắt nhau bên trên P thì
Nếu AD tiếp xúc với lối tròn xoe tại A và AQ một chão cung của lối tròn xoe, thì .

Định lý[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý chão cung tuyên bố nếu như nhị chão cung, CD và EB, hạn chế nhau tại A thì AC.AD = AB.AE.
Nếu nhị cát tuyến, AE và AD, hạn chế lối tròn xoe thứu tự tại B và C thì AC.AD = AB.AE. (Hệ trái ngược của tấp tểnh lý chão cung)
Một tiếp tuyến hoàn toàn có thể coi như 1 số lượng giới hạn của cát tuyến với đầu mút trùng nhau. Nếu tiếp tuyến kể từ điểm A ở ngoài lối tròn xoe hạn chế lối tròn xoe tại F và một cát tuyến từ A cắt lối tròn xoe thứu tự tại C và D thì AF² = AC.AD. (Định lý tiếp tuyến-cát tuyến)
Góc nằm trong lòng một chão cung và tiếp tuyến bên trên một đầu chão cung bởi 1/2 góc ở tâm bị khuất bởi chão cung bại liệt (Tangent Chord Angle).
Nếu góc ở tâm bị khuất bởi chão cung là góc vuông thì ℓ = r√2, với ℓ là chừng nhiều năm chão cung và r là nửa đường kính lối tròn xoe.
Nếu nhị cát tuyến hạn chế lối tròn xoe như mặt mày thì góc A bằng nửa hiệu nhị cung tạo ra trở thành (DE và BC), tức , với O là tâm lối tròn xoe. Đây là tấp tểnh lý 2 cát tuyến với lối tròn xoe.

Sagitta[sửa | sửa mã nguồn]

Sagitta (còn được biết là versine) là đoạn trực tiếp vuông góc với chão cung, trải qua trung điểm của chão cung và cung tuy nhiên chão bại liệt chắn.
Cho chừng nhiều năm y của chão và chừng nhiều năm x sagitta, tớ hoàn toàn có thể người sử dụng tấp tểnh lý Pytago nhằm tính nửa đường kính của lối tròn xoe độc nhất vừa phải với 2 đoạn thẳng:

Một minh chứng không giống của thành quả này dùng đặc điểm nhị chão cung như sau: Cho chão cung có tính nhiều năm y và sagitta có tính nhiều năm x, vì như thế sagitta trải qua trung điểm của chão cung, nó cần là một trong phần 2 lần bán kính. Do 2 lần bán kính nhiều năm gấp rất nhiều lần phân phối kinh, phần "bị thiếu" của 2 lần bán kính có tính nhiều năm (2r − x). Do một trong những phần của một chão cung này nhân phần bại liệt ko thay đổi khi chão xoay quanh uỷ thác điểm, tớ tìm kiếm ra . Giải lần r, tớ có được thành quả như bên trên.

Dựng hình[sửa | sửa mã nguồn]

Có nhiều quy tắc dựng hình bởi thước kẻ và compa đã cho ra lối tròn xoe.

Đơn giản và căn bạn dạng nhất là quy tắc dựng hình tiếp tục biết tâm lối tròn xoe và một điểm phía trên lối tròn xoe. Đặt chân trụ của com-pa bên trên tâm, chân xoay lên điểm bên trên lối tròn xoe và cù com-pa.

Dựng lối tròn xoe với 2 lần bán kính cho tới trước[sửa | sửa mã nguồn]

Dựng trung điểm M của 2 lần bán kính.
Dựng lối tròn xoe với tâm M trải qua một đầu mút của 2 lần bán kính (nó cũng tiếp tục qua loa đầu mút còn lại).

Dựng lối tròn xoe trải qua tía điểm ko trực tiếp hàng[sửa | sửa mã nguồn]

Gọi tía điểm này là P, Q và R,
Dựng lối trung trực của đoạn PQ.
Dựng lối trung trực của đoạn PR.
Gọi uỷ thác điểm hai tuyến phố trung trực là M. (Chúng hạn chế nhau vì như thế những điểm ko trực tiếp mặt hàng collinear).
Dựng lối tròn xoe tâm M trải qua một trong số điểm P, Q hoặc R (nó cũng tiếp tục qua loa nhị điểm còn lại).

Dựng tiếp tuyến trải qua một điểm ở ngoài lối tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Cho điểm A ở ngoài lối tròn xoe tâm O, vẽ lối tròn xoe 2 lần bán kính AO hạn chế lối tròn xoe O bên trên 2 điểm, khi bại liệt 2 điểm này là tiếp điểm của 2 tiếp tuyến trải qua điểm A.

Đường tròn xoe của Apollonius[sửa | sửa mã nguồn]

Apollonius của Pergaeus cho rằng lối tròn xoe còn hoàn toàn có thể khái niệm là tập trung những điểm bên trên mặt mày phẳng lặng với tỉ số ko thay đổi (khác 1) của khoảng cách cho tới nhị chi phí điểm, A và B.^[7]^[8] (Nếu tỉ số là 1 trong thì tập trung ấy là lối trung trực của đoạn trực tiếp AB.)

Chứng minh bao gồm nhị phần. Trước hết tớ cần thiết minh chứng, cho tới nhị chi phí điểm A và B một tỉ số, bất kì điểm P vừa lòng tỉ số cần phía trên một lối tròn xoe chắc chắn. Gọi C là một trong điểm vừa lòng tỉ số và phía trên đoạn trực tiếp AB. Từ tấp tểnh lý lối phân giác suy đi ra PC tiếp tục phân chia song góc vô APB:

Tương tự động, đoạn trực tiếp PD qua loa điểm D bên trên đường thẳng liền mạch AB phân chia song góc ngoài BPQ với Q phía trên tia AP kéo dãn. Do góc ngoài và góc vô bù nhau, góc CPD cần bởi 90 chừng. Tập ăn ý những điểm P sao cho tới góc CPD là góc vuông tạo ra trở thành một lối tròn xoe với CD là 2 lần bán kính.

Thứ nhị, coi ^[9]^:tr.15 nhằm minh chứng rằng những điểm bên trên lối tròn xoe vừa phải tạo ra vừa lòng tỉ số.

Tỉ số kép[sửa | sửa mã nguồn]

Một đặc điểm của lối tròn xoe tương quan cho tới hình học tập của tỉ số kép của những điểm bên trên mặt mày phẳng lặng phức. Nếu A, B, và C cho tới như bên trên thì lối tròn xoe của Apollonius của tía điểm là tập trung những điểm P sao cho tới độ quý hiếm vô cùng của tỉ số kép bởi 1:

Nói cách thứ hai, P là vấn đề bên trên lối tròn xoe của Apollonius khi và chỉ khi tỉ số kép (A,B;C,P) phía trên lối tròn xoe đơn vị chức năng bên trên mặt mày phẳng lặng phức.

Đường tròn xoe tổng quát[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu C là trung điểm của đoạn AB thì tập trung những điểm P vừa lòng ĐK Apollonius

không tạo ra trở thành một lối tròn xoe tuy nhiên trở thành một đường thẳng liền mạch.

Vậy nên nếu như A, B, C là những điểm phân biệt bên trên mặt mày phẳng lặng thì quỹ tích lũy P vừa lòng phương trình bên trên gọi là "đường tròn xoe tổng quát". Nó hoàn toàn có thể là một trong lối tròn xoe hoặc một đường thẳng liền mạch. Trong tình huống này, một đường thẳng liền mạch là một trong lối tròn xoe tổng quát tháo với nửa đường kính vô hạn.

Đường tròn xoe nội tiếp hoặc nước ngoài tiếp[sửa | sửa mã nguồn]

Trong từng tam giác, một lối tròn xoe độc nhất, gọi là lối tròn xoe nội tiếp nếu như nó xúc tiếp với tía cạnh tam giác.^[10]

Với từng tam giác một lối tròn xoe độc nhất, gọi là lối tròn xoe nước ngoài tiếp, nếu như nó trải qua tía đỉnh của tam giác.^[11]

Một nhiều giác nước ngoài tiếp là một trong nhiều giác lồi ngẫu nhiên tuy nhiên một lối tròn xoe hoàn toàn có thể nội tiếp được và xúc tiếp với những cạnh của nhiều giác.^[12] Tất cả nhiều giác đều và tam giác đều là một trong nhiều giác nước ngoài tiếp.

Một nhiều giác nội tiếp, ví dụ tứ giác nội tiếp, là một trong nhiều giác lồi ngẫu nhiên tuy nhiên một lối tròn xoe hoàn toàn có thể xung quanh, trải qua vớ những cụm đỉnh. Một tình huống được phân tích kỹ lưỡng là tứ giác nội tiếp. Tất cả nhiều giác đều và tam giác đều là một trong nhiều giác nội tiếp. Một nhiều giác vừa phải nước ngoài tiếp vừa phải nội tiếp được gọi là nhiều giác lưỡng tâm.

Bất kỳ nhiều giác đều nào thì cũng đều sở hữu chính 1 lối tròn xoe nước ngoài tiếp và với chính 1 lối tròn xoe nội tiếp

Một lối cong hypocycloid là lối cong trực thuộc một lối tròn xoe, vẽ bằng phương pháp theo dõi vệt một điểm cố định và thắt chặt bên trên một lối tròn xoe nhỏ rộng lớn lăn lộn vô lối tròn xoe tiếp tục cho tới và xúc tiếp với nó..

Vị trí tương đối[sửa | sửa mã nguồn]

Vị trí kha khá đằm thắm đường thẳng liền mạch và lối tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Cho lối tròn xoe tâm O nửa đường kính R và đường thẳng liền mạch d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng liền mạch d. Ta với bảng sau:

Vị trí kha khá đằm thắm đường thẳng liền mạch và lối tròn
Vị trí tương đối	Số điểm chung	So sánh OH với R
Đường trực tiếp hạn chế lối tròn	2	OH < R
Đường trực tiếp xúc tiếp lối tròn	1	OH = R
Đường trực tiếp và lối tròn xoe ko uỷ thác nhau	0	OH > R

Vị trí kha khá đằm thắm 2 lối tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Cho lối tròn xoe tâm O nửa đường kính R và lối tròn xoe tâm I nửa đường kính r. Ta với bảng sau:


Số điểm chung	Vị trí tương đối		So sánh OI với R và r	Số tiếp tuyến chung
2	2 lối tròn xoe hạn chế nhau		R - r < OI < R + r	2
1	2 lối tròn xoe xúc tiếp nhau	Tiếp xúc ngoài	OI=R+r	3
1	2 lối tròn xoe xúc tiếp nhau	Tiếp xúc trong		1
0	2 lối tròn xoe ko uỷ thác nhau	(O) và (I) ở ngoài nhau	OI>R+r	4
0	2 lối tròn xoe ko uỷ thác nhau	(O) đựng (I)		0

Đường tròn xoe bên dưới dạng đặc biệt quan trọng của những hình khác[sửa | sửa mã nguồn]

Đường tròn xoe hoàn toàn có thể coi là một trong tình huống số lượng giới hạn của một số trong những hình khác:

Một lối cong Decartes là tập trung những điểm sao cho tới tổng trọng số của khoảng cách kể từ điểm bại liệt cho tới nhị điểm cố định và thắt chặt (tiêu điểm) là một trong hằng số. Một elíp là tình huống những trọng số đều nhau. Một lối tròn xoe là một trong elíp có tính chéo tâm bởi 0, tức là nhị chi phí điểm trùng nhau tạo ra thành ý lối tròn xoe. Một lối tròn xoe cũng là một trong lối cong Descartes đặc biệt quan trọng với cùng 1 trọng số bởi 0.
Một siêu elíp (hay lối cong Lamé) với phương trình dạng với a, b, n dương. Một siêu lối tròn xoe với b = a. Một lối tròn xoe là tình huống đặc biệt quan trọng của siêu lối tròn xoe với n = 2.
Một lối oval Cassini là tập trung những điểm sao cho tới tích khoảng cách kể từ điểm bại liệt cho tới nhị điểm cố định và thắt chặt là một trong hằng số. Khi nhị chi phí điểm trùng nhau, một lối tròn xoe tạo hình.
Một lối cong với chiều rộng lớn ko thay đổi là một trong hình với chiều rộng lớn, khái niệm bởi đằm thắm hai tuyến phố trực tiếp tuy vậy song phân biệt xúc tiếp với hình bại liệt, không bao giờ thay đổi bất kể vị trí hướng của hai tuyến phố trực tiếp bại liệt. Đường tròn xoe là ví dụ giản dị nhất cho tới lối cong này.

Góc với lối tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Góc ở tâm - số đo cung[sửa | sửa mã nguồn]

2 cạnh của góc ở tâm hạn chế nhau bên trên 2 điểm, phân chia lối tròn xoe trở thành 2 cung:

Góc bẹt là góc ở tâm chắn nửa lối tròn xoe. Số đo của nửa lối tròn xoe là

Khi 2 đầu của cung trùng nhau, tớ với cung không với số đo và cả lối tròn xoe với số đo

Trong và một lối tròn xoe hoặc trong số lối tròn xoe đều nhau, 2 cung với số đo đều nhau thì đều nhau.

Cho điểm C phía trên cung AB và phân chia cung AB trở thành 2 cung là cung AC và cung CB. Khi bại liệt số đo của cung AB bởi tổng số đo cung AC và cung CB.

Góc nội tiếp[sửa | sửa mã nguồn]

Số đo góc nội tiếp bởi nửa số đo cung bị chắn
Góc nội tiếp là góc nhọn hoặc góc vuông thì bởi nửa góc ở tâm nằm trong chắn cung bại liệt.
Các góc nội tiếp nằm trong chắn một cung và ở nằm trong phía với chão căng cung bại liệt thì đều nhau.
Hai góc nội tiếp nằm trong chắn một cung ở không giống phía với chão căng cung bại liệt thì bù nhau.
Góc nội tiếp chắn nửa lối tròn xoe là góc vuông (định lý Thales).

Đường tròn xoe tâm O vô hình với tiếp tuyến bên trên A là đường thẳng liền mạch xy. Ta được 2 góc chắn cung nhỏ AB và chắn cung rộng lớn AB

{\displaystyle {\widehat {xAB}}} — Đường tròn xoe tâm O vô hình với tiếp tuyến bên trên A là đường thẳng liền mạch xy. Ta được 2 góc chắn cung nhỏ AB và chắn cung rộng lớn AB

Góc ăn ý bởi tia tiếp tuyến và chão cung[sửa | sửa mã nguồn]

Góc đằm thắm tia tiếp tuyến và chão cung là góc có một cạnh là chão của lối tròn xoe, cạnh bại liệt tạo ra bởi tia tiếp tuyến của lối tròn xoe và đỉnh là tiếp điểm của tiếp tuyến với lối tròn xoe.

Số đo của góc ăn ý bởi tia tiếp tuyến và chão cung thì bởi nửa số đo cung bị khuất.

Góc ăn ý bởi tia tiếp tuyến và chão cung thì bởi góc nội tiếp nằm trong chắn cung đó

Tính hóa học của góc với đỉnh trực thuộc hoặc ngoài lối tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Số đo của góc với đỉnh trực thuộc lối tròn xoe bởi nửa tổng số đo 2 cung bị khuất.

Góc với đỉnh ở ngoài lối tròn xoe và chắn bên trên lối tròn xoe bại liệt 2 cung thì số đo của góc bại liệt bởi nửa hiệu số đo 2 cung bị khuất.

Cầu phương hình tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Cầu phương hình trụ là vấn đề thể hiện bởi những ngôi nhà hình học tập cổ xưa, đòi hỏi dựng một hình vuông vắn với diện tích S bởi diện tích S một hình trụ tiếp tục cho tới vô hữu hạn bước bởi thước trực tiếp và com-pa.

Năm 1882, vấn đề được minh chứng là ko thể tiến hành được, như 1 hệ trái ngược của tấp tểnh lý Lindemann–Weierstrass minh chứng rằng pi (π) là một số trong những siêu việt, chứ không cần cần là một số trong những đại số vô tỉ; tức là nó ko cần là nghiệm của bất kể nhiều thức với thông số hữu tỉ.

Xem thêm: hcl koh

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

^ krikos, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus
^ Arthur Koestler, The Sleepwalkers: A History of Man's Changing Vision of the Universe (1959)
^ Proclus, The Six Books of Proclus, the Platonic Successor, on the Theology of Plato Tr. Thomas Taylor (1816) Tập 2, Chương 2, "Of Plato"
^ Chronology for 30000 BC vĩ đại 500 BC. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Truy cập 03-05-2013.
^ Squaring the circle. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Trụy cập 03-05-2013.
^ Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction (ấn bạn dạng 2), Addison Wesley Longman, tr. 108, ISBN 978-0-321-01618-8
^ Harkness, James (1898). Introduction vĩ đại the theory of analytic functions. London, New York: Macmillan and Co. tr. 30. Bản gốc tàng trữ ngày 7 mon 3 năm 2009. Truy cập ngày trăng tròn mon 12 năm 2017.
^ Ogilvy, C. Stanley, Excursions in Geometry, Dover, 1969, 14–17.
^ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007.
^ Incircle – from Wolfram MathWorld Lưu trữ 2012-01-21 bên trên Wayback Machine. Mathworld.wolfram.com (2012-04-26). Truy cập 2012-05-03.
^ Circumcircle – from Wolfram MathWorld Lưu trữ 2012-01-20 bên trên Wayback Machine. Mathworld.wolfram.com (2012-04-26). Truy cập 2012-05-03.
^ Tangential Polygon – from Wolfram MathWorld Lưu trữ 2013-09-03 bên trên Wayback Machine. Mathworld.wolfram.com (2012-04-26). Truy cập 2012-05-03.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Wikimedia Commons được thêm hình hình họa và phương tiện đi lại truyền đạt về Đường tròn.

Các chủ thể chủ yếu vô toán học
Nền tảng toán học tập \| Đại số \| Giải tích \| Hình học tập \| Lý thuyết số \| Toán học tập tách rộc \| Toán học tập phần mềm \| Toán học tập vui chơi \| Toán học tập tô pô \| Xác suất thống kê