Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

Cùng dò la hiểu và ôn lại công thức tính diện tích S mặt mày cầu, thể tích khối cầu nằm trong Quantrimang.com nhập nội dung bài viết sau đây nhé.

Mặt cầu là gì?

Mặt cầu là quỹ tích những điểm cơ hội đều điểm O cố định và thắt chặt mang lại trước một không gian thay đổi r nhập không khí 3 chiều. Điểm O gọi là tâm và khoảng cách r gọi là nửa đường kính của mặt mày cầu.

Bạn đang xem: diện tích bề mặt hình cầu

Tính diện tích S, thể tích hình cầu

Khối cầu là gì?

Khối cầu là tập kết những điểm ở trong mặt mày cầu và mặt mày cầu được gọi là hình cầu hoặc khối cầu sở hữu tâm O nửa đường kính là r = OA.

Công thức tính diện tích S mặt mày cầu, thể tích khối cầu

Công thức tính diện tích S mặt mày cầu

Diện tích mặt mày cầu vày 4 thứ tự diện tích S hình trụ rộng lớn, vày tứ thứ tự hằng số Pi nhân với bình phương nửa đường kính của hình cầu.

$S=4\pi .r^{2} =\pi .d^{2}$

Công thức tính thể tích hình cầu:

Thể tích hình cầu hoặc còn được gọi là thể tích khối cầu được xem vày phụ vương phần tư của Pi nhân với lập phương nửa đường kính hình cầu.

$V=\frac{4}{3} \pi .r^{3} =\frac{1}{6}\pi .d^{3}$

Trong đó:

S là diện tích S mặt mày cầu
V là thể tích hình cầu
r là nửa đường kính mặt mày cầu/hình cầu
d là bánh kính mặt mày cầu/hình cầu

Công thức tính nửa đường kính mặt mày cầu

Mặt cầu nước ngoài tiếp khối chóp sở hữu cạnh mặt mày vuông góc với đáy

$R=\sqrt{R_d^2+\left(\frac{h}{2}\right)^2}$

Rd là nửa đường kính nước ngoài tiếp lòng.
h là phỏng lâu năm cạnh mặt mày vuông góc với lòng.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng là hình chữ nhật với AB = 3a, BC = 4a, SA = 12a và SA vuông góc với lòng. Tính nửa đường kính R của mặt mày cầu nước ngoài tiếp hình chóp S.ABCD.

Giải: Ta có

$R_d=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{AB^{2\ }+BC^2}}{2}=\ \frac{\sqrt{9a^{2\ }+16a^2}}{2}=\frac{5a}{2}$

Vậy $R=\sqrt{R_d^2+\left(\frac{h}{2}\right)^2}=\ \sqrt{\left(\frac{5a}{2}\right)^2+\left(\frac{12a}{2}\right)^2}=\frac{13a}{2}$

Khối tứ diện vuông (đây là tình huống đặc biệt quan trọng của công thức 1)

Khối kể từ diện vuông OABC sở hữu OA, OB, OC, song một vuông góc có:

$R=\sqrt{\frac{OA^2+OB^2+OC^2}{2}}$

Ví dụ:

Khối tứ diện OABC sở hữu OA, OB, OC, song một vuông góc và sở hữu nửa đường kính mặt mày cầu nước ngoài tiếp vày $\sqrt{3}$ . Thể tích lớn số 1 của khối tứ diện OABC

Giải: Ta có

$R=\frac{\sqrt{OA^2+OB^2+OC^2}}{2}=\sqrt{3\ }=>\ OA^2+OB^2+OC^2\ =12$

Mặt không giống tớ có:

$V_{OABC}=\frac{1}{6}OA.OB.OC$

Theo bất đẳng thức AM - GM tớ có:

$12=OA^2\ +\ OB^2\ +\ OC^2\ \ge\ 3\sqrt[3]{OA^2.OB^2.OC^2}=>\ OA.OB.OC\le8$

$V_{OABC}\le\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$

Khối lăng trụ đứng sở hữu lòng là nhiều giác nội tiếp

$R=\sqrt{R_d^2\ +\left(\frac{h}{2}\right)^2}$

Trong đó:

Rd là nửa đường kính nước ngoài tiếp đáy
h là phỏng lâu năm cạnh mặt mày.

Ví dụ 1: Cho mặt mày cầu nửa đường kính R nước ngoài tiếp một hình lập phương cạnh a. Mệnh đề nào là sau đây đúng?

Giải: Ta có

$R=\sqrt{R_d^2+\left(\frac{h}{2}\right)^{2\ }}=\sqrt{\left(\frac{a}{^{\sqrt{2}}}\right)^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2}$ $\Rightarrow \ a=\frac{2\sqrt{3}R}{3}$

Vậy, đáp án là C.

Công thức mang lại khối tứ diện sở hữu những đỉnh là đỉnh của một khối lăng trụ đứng

$R=\sqrt{R_d^2\ +\left(\frac{h}{2}\right)^2}$

Khối tứ diện (H1) sở hữu những đỉnh là đỉnh của khối lăng trụ đứng (H2), Lúc đó:

$R_{\left(H_1\right)}=R_{\left(H_2\right)}=\sqrt{R_d^2+\left(\frac{h}{2}\right)^2}$

Công thức tính nửa đường kính mặt mày cầu mang lại khối chóp xuất hiện mặt mày vuông góc đáy

$R=\sqrt{R_d^2+\left(\frac{a}{2}\cot x\right)^2}$

Trong bại R, d là nửa đường kính nước ngoài tiếp đáy; a, x ứng là phỏng lâu năm đoạn phú tuyến của mặt mày mặt và lòng, góc ở đỉnh của mặt mày mặt nhìn xuống lòng.

Xem thêm: hcl + kmno4

Hoặc rất có thể dùng công thức

$R=\sqrt{R_d^2+R_b^2+\frac{a^2}{4}}$

Trong đó: R_blà nửa đường kính nước ngoài tiếp của mặt mày mặt và a ứng là phỏng lâu năm đoạn phú tuyến của mặt mày mặt và lòng.

Ví dụ:

Cho hình chóp S.ABCD sở hữu lòng là hình vuông vắn, tam giác SAD đều cạnh √2a và ở trong mặt mày phẳng phiu vuông góc với mặt mày lòng. Tính nửa đường kính R của mặt mày cầu nước ngoài tiếp hình chóp S.ABCD.

Giải: Ta có

$R=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}a}{2\sqrt{3}}\right)^2}=\frac{a\sqrt{42}}{6}$

Vậy đáp án thực sự B.

Ví dụ về tính diện tích S mặt mày cầu, thể tích khối cầu

Bài 1: Cho hình trụ sở hữu chu vi là 31,4 centimet. Hãy tính thể tích hình cầu sở hữu nửa đường kính vày nửa đường kính của hình trụ vừa phải mang lại.

Giải:

Chu vi hình trụ C = 2πr = 31.4 cm

=> Bán kính r = C/2π = 5 cm

Thể tích khối cầu tiếp tục mang lại là:

V = ⁴⁄₃πr³ = 4/3.3,14.(5)³ = 523,3 cm³

Bài 2: Tính thể tích khối cầu sở hữu 2 lần bán kính d = 4 centimet.

Giải:

Bán kính r = d/2 = 2 cm

Thể tích khối cầu là:

V = ⁴⁄₃πr³ = 4/3.3,14.(2)³ = 33,49 cm³

Bài 3:

Cho hình trụ 2 lần bán kính 4a xoay quanh 2 lần bán kính của chính nó. Khi bại thể tích khối tròn trặn xoay sinh đi ra vày bao nhiêu?

Giải: Cho hình trụ 2 lần bán kính 4a xoay quanh 2 lần bán kính của chính nó tớ được khối cầu sở hữu 2 lần bán kính 4a hoặc nửa đường kính R = 2a.

Thể tích khối cầu là:

$V=\frac{4}{3}\pi^{^{^{^{^{^{ }}}}}}R^3\ =\ \frac{4}{3}\pi\left(2a\right)^3\ =\ \frac{32}{3}\pi a^3$

Bài 4:

Mặt cầu sở hữu nửa đường kính R√3 sở hữu diện tích S là:

A. 4√3πR2

B. 4πR2

C. 6πR2

D. 12πR2

Giải: sít dụng công thức: S = 4πR2

Diện tích mặt mày cầu sở hữu nửa đường kính R√3 là: S = 4π(R√3)2 = 12πR2

Xem thêm: nữ sinh năm 1982 mệnh gì

Vậy đáp án là D.

Hai công thức cụt gọn gàng thôi tuy nhiên nhằm ghi nhớ lâu lâu năm thì cũng kha khá khó khăn đấy. Bookmark nội dung bài viết và hé đi ra khi chúng ta cần thiết nhé. Hi vọng nội dung bài viết hữu ích với chúng ta.

Ngoài công thức tính diện tích S mặt mày cầu, thể tích khối cầu phía trên, những chúng ta có thể xem thêm thêm thắt công thức tính diện tích S của một trong những hình cơ phiên bản khác ví như hình tam giác, hình chữ nhật, hình bình hành...