Căn bậc hai

Bách khoa toàn thư hé Wikipedia

Trong toán học tập, căn bậc hai của một trong những a là một trong những x sao mang lại x² = a, hoặc trình bày cách tiếp theo là số x nhưng mà bình phương lên thì = a.^[1] Ví dụ, 4 và −4 là căn bậc nhị của 16 vì thế 4² = (−4)² = 16.

Mọi số thực a ko âm đều phải có 1 căn bậc nhị ko âm có một không hai, gọi là căn bậc nhị số học, ký hiệu √a, ở phía trên √ được gọi là dấu căn. Ví dụ, căn bậc nhị số học tập của 9 là 3, ký hiệu √9 = 3, vì thế 3² = 3 × 3 = 9 và 3 là số ko âm.

Mọi số dương a đều phải có nhị căn bậc hai: √a là căn bậc nhị dương và −√a là căn bậc nhị âm. Chúng được ký hiệu đôi khi là ± √a (xem vết ±). Mặc cho dù căn bậc nhị chủ yếu của một trong những dương chỉ là 1 vô nhị căn bậc nhị của số cơ, việc gọi "căn bậc hai" thông thường nói đến căn bậc nhị số học. Đối với số dương, căn bậc nhị số học tập cũng hoàn toàn có thể được viết lách bên dưới dạng ký hiệu lũy quá, như thể a^1/2.^[2]

Căn bậc nhị của số âm hoàn toàn có thể được bàn luận vô phạm vi số phức.

Tính hóa học và sử dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm số căn bậc nhị chủ yếu f (x) = √x (thường chỉ gọi là "hàm căn bậc hai") là 1 hàm số vạch đi ra tụ hội những số ko âm. Căn bậc nhị của x là số hữu tỉ khi và chỉ khi x là số hữu tỉ và hoàn toàn có thể màn biểu diễn bên dưới dạng tỉ số căn bậc nhị của nhị số chủ yếu phương. Về mặt mày hình học tập, đồ gia dụng thị của hàm căn bậc nhị bắt nguồn từ gốc tọa chừng và với dạng 1/2 parabol.

Đối với từng số thực '

(xem độ quý hiếm tuyệt đối)

Đối với từng số thực ko âm x và y,

Đối với từng số thực ko âm x và và số thực dương y,

Hàm số căn bậc nhị là hàm liên tiếp với từng x ko âm và khả vi với từng x dương. Nếu f biểu thị hàm căn bậc nhị thì đạo hàm của f là:

Căn bậc nhị của số ko âm được sử dụng vô khái niệm chuẩn chỉnh Euclid (và khoảng cách Euclid), hao hao trong mỗi sự tổng quát tháo hóa như không khí Hilbert. Nó xác lập định nghĩa chừng nghiêng chuẩn chỉnh cần thiết dùng vô lý thuyết phần trăm và tổng hợp, được sử dụng vô công thức nghiệm của phương trình bậc hai; ngôi trường bậc nhị,..., vào vai trò cần thiết vô đại số và với vận dụng vô hình học tập. Căn bậc nhị xuất hiện tại thông thường xuyên trong số công thức toán học tập hao hao vật lý cơ.

Tính căn bậc hai[sửa | sửa mã nguồn]

Hiện ni nhiều phần PC đuc rút đều phải có phím căn bậc nhị. Các bảng tính PC và ứng dụng không giống cũng thông thường được dùng nhằm tính căn bậc nhị. Máy tính đuc rút thông thường tiến hành những lịch trình hiệu suất cao, như cách thức Newton, nhằm tính căn bậc nhị của một trong những thực dương.^[3]^[4] Khi tính căn bậc nhị vị bảng lôgarit hoặc thước lôga, hoàn toàn có thể tận dụng giống hệt thức

√a = e ^{(ln a) / 2} hoặc √a = 10 ^{(log₁₀ a) / 2}.

trong cơ ln và log₁₀ theo lần lượt là logarit bất ngờ và logarit thập phân.

Vận dụng cách thức demo (thử và sai, trial-and-error) hoàn toàn có thể dự tính √a và thêm thắt hạn chế cho đến khi đầy đủ chừng đúng đắn quan trọng. Giờ xét một ví dụ giản dị, nhằm tính √6, trước tiên lần nhị số chủ yếu phương sớm nhất với số bên dưới vết căn, một trong những to hơn và một trong những nhỏ rộng lớn, này là 4 và 9. Ta với √4 < √6 < √9 hoặc 2 < √6 < 3, kể từ phía trên hoàn toàn có thể nhận ra √6 nhỏ rộng lớn và ngay gần 2,5, lựa chọn độ quý hiếm dự tính là 2,4. Có 2,4² = 5,76 < 6 < 6,25 = 2,5² suy đi ra 2,4 < √6 < 2,5; kể từ phía trên kế tiếp thấy rằng √6 ngay gần với tầm của 2,4 và 2,5, vậy độ quý hiếm ước đoán tiếp sau là 2,45...

Xem thêm: hoàng hường là ai

Phương pháp lặp thông dụng nhất nhằm tính căn bậc nhị nhưng mà ko người sử dụng PC được nghe biết với tên thường gọi "phương pháp Babylon hoặc "phương pháp Heron" theo đòi thương hiệu người trước tiên tế bào mô tả nó, triết nhân người Hy Lạp Heron of Alexandria.^[5] Phương pháp này dùng sơ đồ gia dụng lặp tương tự động cách thức Newton–Raphson khi phần mềm hàm số nó = f(x)=x² − a.^[6] Thuật toán là việc tái diễn một phương pháp tính giản dị nhưng mà thành phẩm tiếp tục càng ngày càng ngay gần rộng lớn với căn bậc nhị thực từng phiên tái diễn. Nếu x dự tính to hơn căn bậc nhị của một trong những thực ko âm a thì a/x tiếp tục nhỏ rộng lớn và vì thế tầm của nhị số này được xem là độ quý hiếm đúng đắn rộng lớn bạn dạng thân thích từng số. Tuy nhiên, bất đẳng thức AM-GM chỉ ra rằng độ quý hiếm tầm này luôn luôn to hơn căn bậc nhị thực, bởi vậy nó sẽ tiến hành người sử dụng như 1 độ quý hiếm dự tính mới mẻ to hơn đáp số thực nhằm tái diễn quy trình. Sự quy tụ là hệ trái ngược của việc những thành phẩm dự tính rộng lớn và nhỏ rộng lớn ngay gần nhau rộng lớn sau từng bước một tính. Để lần x:

Khởi đầu với cùng 1 độ quý hiếm x dương ngẫu nhiên. Giá trị này càng ngay gần căn bậc nhị của a thì sẽ càng cần thiết không nhiều bước tái diễn nhằm đạt chừng đúng đắn ước muốn.
Thay thế x vị tầm (x + a/x) / 2 của x và a/x.
Lặp lại bước 2, dùng độ quý hiếm tầm này như độ quý hiếm mới mẻ của x.

Vậy, nếu như x₀ là đáp số phỏng đoán của √a và x_{n + 1} = (x_n + a/x_n) / 2 thì từng x_n tiếp tục xấp xỉ với √a rộng lớn với n to hơn.

Áp dụng giống hệt thức

√a = 2^-n√4ⁿ a,

việc tính căn bậc nhị của một trong những dương hoàn toàn có thể được giản dị hóa trở nên tính căn bậc nhị của một trong những trong vòng [1,4). Như vậy chung lần độ quý hiếm đầu mang lại cách thức lặp ngay gần rộng lớn với đáp số chuẩn chỉnh xác.

Một cách thức hữu dụng không giống nhằm tính căn bậc nhị là thuật toán thay cho thay đổi căn bậc n, vận dụng mang lại n = 2.

Căn bậc nhị của số nguyên vẹn dương[sửa | sửa mã nguồn]

Một số dương với nhị căn bậc nhị, một dương và một âm, trái ngược vết cùng nhau. Khi nói tới căn bậc nhị của một trong những nguyên vẹn dương, nó thông thường là căn bậc nhị dương.

Căn bậc nhị của một trong những nguyên vẹn là số nguyên vẹn đại số — ví dụ rộng lớn là số nguyên vẹn bậc nhị.

Căn bậc nhị của một trong những nguyên vẹn dương là tích của những căn của những quá số nhân tố của chính nó, vì thế căn bậc nhị của một tích là tích của những căn bậc nhị của những quá số. Vì , chỉ mất gốc của những số nhân tố cơ cần phải có một lũy quá lẻ trong các công việc phân tách nhân tử. Chính xác rộng lớn, căn bậc nhị của một quá số nhân tố là :

Dưới dạng không ngừng mở rộng thập phân[sửa | sửa mã nguồn]

Căn bậc nhị của những số chủ yếu phương (ví dụ: 0, 1, 4, 9, 16) là những số nguyên vẹn. Các số nguyên vẹn dương không giống thì căn bậc nhị đều là số vô tỉ và bởi vậy với những số thập phân ko tái diễn vô màn biểu diễn thập phân của bọn chúng. Các độ quý hiếm tầm thập phân của căn bậc nhị của một vài ba số bất ngờ trước tiên được mang lại vô bảng sau.

Căn bậc nhị của những số từ là một cho tới 10

0	0
1	1
2	1,414
3	1,732
4	2
5	2,236
6	2,449
7	2,646
8	2,828
9	3
10	3,162

Căn bậc nhị của số âm và số phức[sửa | sửa mã nguồn]

Bình phương của từng số dương và âm đều là số dương, và bình phương của 0 là 0. Bởi vậy, ko số âm này với căn bậc nhị thực. Tuy nhiên tao hoàn toàn có thể kế tiếp với cùng 1 tụ hội số khái quát rộng lớn, gọi là tập dượt số phức, vô cơ chứa chấp đáp số căn bậc nhị của số âm. Một số mới mẻ, ký hiệu là i (đôi là j, đặc biệt quan trọng vô năng lượng điện học tập, ở cơ "i" thông thường tế bào mô tả dòng sản phẩm điện), gọi là đơn vị chức năng ảo, được khái niệm sao mang lại i² = −1. Từ phía trên tao hoàn toàn có thể tưởng tượng i là căn bậc nhị của −1, tuy nhiên nhằm ý rằng (−i)² = i² = −1 bởi vậy −i cũng chính là căn bậc nhị của −1. Với quy ước này, căn bậc nhị chủ yếu của −1 là i, hoặc tổng quát tháo rộng lớn, nếu như x là một trong những ko âm ngẫu nhiên thì căn bậc nhị chủ yếu của −x là

Vế cần thực sự là căn bậc nhị của −x, vị

Đối với từng số phức z không giống 0 tồn bên trên nhị số w sao mang lại w² = z: căn bậc nhị chủ yếu của z và số đối của chính nó.

Xem thêm: c2h2+br2

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Căn bậc ba
Căn bậc n

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

^ Gel'fand, p. 120
^ Zill, Dennis G.; Shanahan, Patrick (2008). A First Course in Complex Analysis With Applications (ấn bạn dạng 2). Jones & Bartlett Learning. tr. 78. ISBN 0-7637-5772-1. Extract of page 78
^ Parkhurst, David F. (2006). Introduction đồ sộ Applied Mathematics for Environmental Science. Springer. tr. 241. ISBN 9780387342283.
^ Solow, Anita E. (1993). Learning by Discovery: A Lab Manual for Calculus. Cambridge University Press. tr. 48. ISBN 9780883850831.
^ Heath, Sir Thomas L. (1921). A History of Greek Mathematics, Vol. 2. Oxford: Clarendon Press. tr. 323–324.
^ Muller, Jean-Mic (2006). Elementary functions: algorithms and implementation. Springer. tr. 92–93. ISBN 0-8176-4372-9., Chapter 5, p 92

Đọc thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Imhausen, Annette (2007). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, Đài Loan Trung Quốc, India, and Islam. Princeton: Princeton University Press. tr. 187–384. ISBN 0691114854.
Joseph, George (2000). The Crest of the Peacock. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0691006598.
Smith, David (1958). History of Mathematics. 2. New York: Dover Publications. ISBN 9780486204307.