cấp số nhân

1. Cấp số nhân là gì?

Bạn đang xem: cấp số nhân

Cấp số nhân là 1 trong mặt hàng số (hữu hạn hoặc vô hạn) thoả mãn ĐK Tính từ lúc số hạng loại nhì, từng số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay lập tức trước nó với một trong những ko thay đổi (hằng số này được gọi là công bội q của cấp số nhân). Có nghĩa là:

$u_{n}$ là cấp số nhân với $\Leftrightarrow \forall n \geq 2, u_{n-1}$ với $n\epsilon N^{\ast }$

Ví dụ: Dãy số $(u_{n})$, với $u_{n}=3^{n}$ là 1 trong cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3$ và công bội $q=3$.

2. Công bội q

q là công bội của cấp số nhân $(u_{n})$ có 

Công bội $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân $u_{1}=3,u_{2}=9$. Tính công bội q

Ta có: 

$q=\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{9}{3}=3$

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân $u_{3}=8,u_{4}=16$ . Tính công bội q

Ta có: 

$q=\frac{u_{4}}{u_{3}}=\frac{16}{8}=2$

3. Tính hóa học cấp số nhân

• $(u_{n})$ là 1 trong cấp số nhân thì kể từ số hạng loại nhì, bình phương của từng số hạng (trừ số hạng cuối so với cấp số nhân hữu hạn) tiếp tục bởi vì tích của số đứng trước và số đứng sau nó.

$\Leftrightarrow (u_{k})^{2}=u_{k-1}.u_{k+1}$

• Nếu một cấp số nhân $(u_{n})$ đem số hạng đầu $(u_{1})$ và công bội q thì số hạng tổng quát lác $(u_{n})$ sẽ tiến hành tính bởi vì công thức:

$u_{n}=u_{1}.q^{n-1}$

Ví dụ : Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với công bội q > 0. 

Biết u₁ = 1; u₃ =3. Hãy dò thám u₄

Lời giải: 

Ta có: u₂² = u₁ . u₃ = 3

          u₃² = u₂ . u₄

Từ (1) bởi u₂  > 0 ( vì thế u₁=1 > 0 và q > 0)

$\Rightarrow u_{4}=\frac{{u_{3}}^{2}}{u_{2}}$

• Khi q = 0 thì mặt hàng đem dạng u₁; 0;0…;0;… và S_n=u₁ 

• Khi q = 1 thì mặt hàng đem dạng u₁;u₁;u₁;...;u₁;... và S_n=nu₁.

• Khi u₁ = 0 thì với từng q, cấp số nhân đem dạng 0; 0; 0;…; 0;… và S_n=u₁.

Đăng ký ngay lập tức nhằm được trao đầy đủ cỗ kỹ năng và kiến thức về cấp số nhân

4. Tổng ăn ý những công thức tính cấp số nhân cơ bản

4.1. Dạng 1: Nhận biết CSN

Phương pháp:

• Tính $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \forall  n \geq 1$

• Kết luận: 

• Nếu q là ko thay đổi thì mặt hàng u_n là cấp số nhân

• Nếu q thay cho thay đổi thì mặt hàng u_n ko là cấp số nhân

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một cấp số nhân đem số hạng loại nhất là 2 và công bội là 2. Viết 6 số hạng trước tiên.

Lời giải: 

Ta đem 6 số hạng trước tiên là: 2, 4, 8, 16, 32, 64

Ví dụ 2 : Cấp số nhân U_n đem số hạng loại nhì là 10 và số hạng loại năm là 1250.

1. Tìm số hạng loại nhất

2. Viết 5 số hạng đầu tiên

Lời giải:

1. Đặt r là công bội của cấp số nhân.

 Ta có: r^(5-2) = r³ hoặc r³ = 1250 : 10 = 125 = 5³. Từ cơ r = 5. 

$\Rightarrow$ u1=10=5=2. 

Số hạng loại nhất là 2 

2. 2, 10, 50, 1250, 6250

Ví dụ 3: Bài mang đến cấp số nhân U_n thỏa mãn: $u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}$. Dãy số U_n bên trên là cấp số nhân đích thị hoặc sai? 

Lời giải: 

Ta có: $\frac{u_{n}+1}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt3=const$ không tùy thuộc vào n. Vậy mặt hàng số (U_n) là 1 trong cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3\sqrt{3}$ và công bội là $q=\sqrt3$ 

4.2. Dạng 2: Tìm công bội của cấp số nhân

Phương pháp: Sử dụng những đặc thù của CSN, đổi khác nhằm tính công bội của CSN.

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân U_n đem U₁ = 2, U₂ = 4. Tính công bội q.

Từ công thức tớ có: $q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{4}{2}=2$

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân U_n đem U₁ = 3, U₂ = -6. Tính công bội q.

Lời giải: 

Từ công thức tớ có: 

$q=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{-6}{3}=-2$

Ví dụ 3: Đề mang đến phụ vương số x,y,z lập trở nên một cấp số nhân và phụ vương số x, 2y, 3z lập trở nên một cấp cho số nằm trong. Tìm công bội q.

Lời giải: 

Đặt q là công bội của cấp số nhân trên

Các số x, 2y, 3z lập trở nên một cấp cho số nằm trong $\Rightarrow x+3z=4y$

4.3. Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số nhân

Phương pháp:

Để dò thám số hạng của cấp số nhân tớ dùng công thức tính số hạng tổng quát lác U_n = U₁.q_n-1 , n ≥ 2.

Ví dụ 1: Tìm u₁ và q  của cấp số nhân biết: 

Lời giải: 

Ví dụ 2: Bài mang đến cấp số nhân (u_n) với u₃ = 8 , u₅ = 32. Số hạng loại 10 của cấp số nhân cơ là? 

Lời giải: 

Gọi q là công bội của cấp số nhân (u_n), tớ đem $q^{2}=\frac{u_{5}}{u_{3}}=4 \Rightarrow q = \pm 2$

Với q = 2, tớ đem u₁₀ = u₃ . q^₇ = 8 . 2^₇ = 1024

Với q = -2, tớ đem u₁₀ = u₃ . q⁷= 8 . (-2)⁷ = -1024

Ví dụ 3: Cho cấp số nhân (u_n), hiểu được số hạng trước tiên u₁ = 3, công bội là 2. Hãy dò thám số hạng loại 5

Lời giải: 

Áp dụng công thức tớ đem : u_n = u₁ . q^n–1

$\Leftrightarrow$ u₅ = u₁ . q⁴ =3 . 2⁴ = 48

4.4. Dạng 4: Tính tổng cấp số nhân của n số hạng trước tiên vô dãy

Ta dùng công thức:

Ví dụ 1: Tính tổng cấp số nhân:

$S = 2 + 6 + 18 + 13122$

Lời giải:

(u_n) đem u₁=2 và q = 3. 

$13122 = u_{n} = u_{n}q^{n-1} = 2.3^{n-1} \Leftrightarrow n=9 \Rightarrow S=S_{9}=u_{1}\frac{q_{0}-1}{q-1}$

Ví dụ 2: Bài mang đến cấp số nhân (u_n) với

1. 5 số hạng đầu của cấp số nhân bên trên là gì? 

2. 10 số hạng đầu của cấp số nhân (u_n) bên trên đem tổng là bao nhiêu? 

Lời giải: 

Ví dụ 3: Cho cấp số nhân U_n thỏa mãn: $u_{n}=3^{\frac{n}{2}+1}$

1. Dãy số là cấp số nhân là đích thị hoặc sai?

2. Tính S = u₂ + u₄ + u₆... + u₂₀

Lời giải: 

1. Ta có: $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}=\sqrt{3}=const$ ko tùy thuộc vào n. Vậy mặt hàng số (U_n) là 1 trong cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=3\sqrt{3}$ và công bội là $q=\sqrt{3}$ 

   Xem thêm: dàn ý tả cây hoa hồng lớp 4

2. Dãy số: u₂, u₄, u₆,..., u₂₀ lập trở nên một cấp số nhân với số hạng đầu là u₂ = 9, q = 3 

$\Rightarrow S=u_{2}+u_{4}+u_{6}...+u_{20}=u_{2}\frac{1-3^{10}}{1-3}=\frac{9}{2}(3^{10}-1)$

4.5. Dạng 5: Tìm CSN

Phương pháp:

Xác ấn định những bộ phận kết cấu nên một cấp số nhân như: số hạng đầu U₁, công bội q tiếp sau đó suy rời khỏi được công thức mang đến số hạng tổng quát lác .

Ví dụ 1: CSN (u_n) như sau, dò thám u₁ khi:

Lời giải: 

Ví dụ 2: Dãy số nào là là cấp số nhân: 

1. 1;0,2;0,04;0,008;...

2. 1,22,222,2222,...

3. X,2x,3x,4x,...

4. 2,3,5,7,...

Lời giải: 

Xét đáp án A tớ có: 

u₁ = 1, u₂ = u₁ . 0,2, u₃ = u₁ . (0,2)², u₄ = u₁ . (0,2)³

Sử dụng cách thức quy hấp thụ toán học tập tớ minh chứng được u_n = (0,2)ⁿ

Khi cơ $\frac{u_{n+1}}{u{n}}=\frac{(0,2)^{n+1}}{0,2}=0,2$ ko đổi

Vậy mặt hàng số là cấp số nhân đem công bội q = 0,2

Ví dụ 3: Tìm cấp số nhân đem sáu số hạng, hiểu được tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.

Lời giải: 

Gọi cấp số nhân (u_n) cần thiết dò thám đem công bội q, số hạng trước tiên u_n.

Ta có: $s_{5} = \frac{u_{1} . (1-q)}{1-q}$

s₅' = u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆

= u₁q + u₂q + u₃q + u₄q + u₅q

= q . (u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅)

= q . S₅

Mà S₅ = 31; S₅' = 62

$\Rightarrow q=2$

$u1=\frac{s_{5}.(1-q)}{1-q^{5}}=1$

Vậy cấp số nhân (u_n) là 1;2;4;8;16;32

Nắm đầy đủ kỹ năng và kiến thức và cách thức giải từng dạng bài xích tập dượt Toán trung học phổ thông với cỗ bí quyết độc quyền của VUIHOC ngay!!!

5. Cấp số nhân lùi vô hạn

5.1. Định nghĩa

Nếu cấp số nhân (u_n) đem công bội q vừa lòng -1 < q <1 thì cấp số nhân được gọi là lùi vô hạn.

S_n = u₁(1 - qⁿ)(1 - q) = u₁(qⁿ - 1)(q - 1)

 Trong cơ s_n là tổng n số hạng trước tiên của cấp số nhân (u_n)

Ví dụ: $\frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{1}{27},\frac{1}{81},\frac{1}{243}$ là một cấp số nhân lùi vô hạn $q=\frac{1}{3}$

5.2. Bài toán tổng của cấp số nhân lùi hạn

Đề bài xích mang đến cấp số nhân lùi vô hạn (công bội q), vậy tớ đem tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S bằng: $S=\frac{u_{1}}{1-q}$

Ví dụ minh họa 

Ví dụ 1: Tính tổng 

$S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+...$

Lời giải:

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=1, q=\frac{-1}{3}$ nên 

$S=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$

Ví dụ 2: Biểu trình diễn số thập phân vô hạn tuần trả 0,777… bên dưới dạng số

Lời giải: 

Ta có: 

$0,777...= 0,7+0,07+0,007+...=\frac{7}{10}+\frac{7}{10^{2}}+\frac{7}{10^{3}}+...=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{7}{10}}=\frac{7}{9}$

Vậy $0,777...=\frac{7}{9}$

Ví dụ 3: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là $\frac{5}{3}$ tổng phụ vương số hạng trước tiên của mặt hàng số là $\frac{39}{25}$. Xác ấn định (u₁), q của cấp cho số đó?

Lời giải: 

6. Một số bài xích tập dượt cấp số nhân và cách thức giải chi tiết

Câu 1: Cho cấp số nhân un đem công bội q

1. Biết u₁ = 2, u₆ = 486. Tìm q

2. Biết q= $\frac{2}{3}$, u₄ = $\frac{8}{21}$. Tính u₁

3. Biết u₁ = 3, q = -2. Xác ấn định số 192 là số hạng loại bao nhiêu vô cấp số nhân?

Lời giải: 

Câu 2: Tìm những số hạng của cấp số nhân (u_n) biết cấp số nhân bao gồm đem 5 số hạng và:

1. TH1: u₃ = 3 , u₅ = 27

2. TH2: u₄ – u₂ = 25 ,  u₃ – u₁ = 50

Lời giải: 

Ví dụ 3: Tìm cấp số nhân đem sáu số hạng, hiểu được tổng của 5 số hạng đầu là 31 và tổng của 5 số hạng sau là 62

Lời giải:

Ví dụ 4: Tỉ lệ tăng dân sinh của tỉnh x là 1 trong những,4%. lõi rằng bên trên thời gian tham khảo số dân của tỉnh lúc bấy giờ là 1 trong những,8 triệu con người, căn vặn với nấc tăng lương bổng vì vậy thì sau 5 năm, 10 năm số nữa dân sinh của tỉnh cơ là?

Lời giải:

Gọi số dân của tỉnh cơ thời điểm hiện tại là N 

Sau 1 năm dân sinh tăng là 1 trong những,4%N 

Vậy năm tiếp theo, số dân của tỉnh này đó là n + 1,4%N = 101,4%N 

Số dân tỉnh cơ sau hàng năm lập trở nên một cấp số nhân như sau N ; (101,4/100)N ; (101,4/100)2N ; … 

Giả sử N=1,8 triệu con người thì sau 5 năm số dân của tỉnh là: (101,4/100)5. 1,8 = 1,9 (triệu dân) 

Và sau 10 năm được xem là (101,4/100)10. 1,8 = 2,1 (triệu dân)

Ví dụ 5: Đề bài xích mang đến u_n đem những số hạng 0, tìm  u₁ biết:

$u_{n}=\frac{2}{3^{n-1}}$. Mà $u_{n}=\frac{2}{6561} \Rightarrow 3^{n-1} = 6561 \Rightarrow n=9$

Lời giải: 

Trên đấy là toàn cỗ lý thuyết và những dạng công thức cấp số nhân. Mong rằng với nội dung bài viết này, những em học viên hoàn toàn có thể giải những bài xích tập dượt kể từ cơ phiên bản cho tới nâng lên thật thành thục. Các em truy vấn Vuihoc.vn và ĐK khóa huấn luyện và đào tạo nhằm học tập và ôn tập dượt kỹ năng và kiến thức Toán 11 phục vụ ôn ganh đua trung học phổ thông QG ngay lập tức kể từ thời điểm ngày hôm nay nhé!

>> Xem thêm:

Xem thêm: v cầu

• Tổng ăn ý những công thức cấp cho số nằm trong và cấp số nhân & bài xích tập
• Cấp số nằm trong là gì? Công thức cấp cho số nằm trong và bài xích tập
• Xác suất của thay đổi cố
• Giới hạn của mặt hàng số