căn bậc 2 của 3

Bách khoa toàn thư hé Wikipedia

Bạn đang xem: căn bậc 2 của 3

Căn bậc nhì của 3 là một vài thực dương sao mang đến Khi nhân với chủ yếu nó thì đã cho ra số 3. Chính xác rộng lớn, nó được gọi là căn bậc nhì số học tập của 3, nhằm phân biệt với số tâm với nằm trong đặc điểm. Nó được kí hiệu là √3 hoặc 3^1⁄₂.

Căn bậc nhì của 3 là một vài vô tỉ. Nó còn được biết là hằng số Theodorus, mệnh danh theo đòi Theodorus xứ Cyrene, người vẫn chứng tỏ tính vô tỉ của chính nó.

Sáu mươi chữ số trước tiên nhập màn trình diễn thập phân của chính nó là:

1.73205080756887729352744634150587236694280525381038062805580… (dãy số A002194 nhập bảng OEIS)

Thuật toán tính toán[sửa | sửa mã nguồn]

Có một vài phương pháp để xấp xỉ độ quý hiếm của √3. Thuật toán thông thường được sử dụng trong số PC cá thể và PC đuc rút là cách thức Babylon nhằm tính căn bậc nhì của một vài. Các bước tổ chức như sau:

1. Lấy một vài a₀ > 0 bất kì thực hiện độ quý hiếm lúc đầu (càng ngay sát √3 càng tốt)
2. Tính từng số hạng theo đòi công thức truy hồi sau:

1. Lặp lại bước 2 cho tới Khi đạt được chừng đúng chuẩn quan trọng.

Dãy (a_n) bên trên là mặt hàng quy tụ bậc nhì, tức từng chuyến tính mang đến tớ khoảng tầm gấp rất nhiều lần số chữ số thập phân chính. Bắt đầu với a₀ = 1 mang đến tớ những xấp xỉ:

• a₁ = 7/4 = 1.75
• a₂ = 97/56 = 1.73214...
• a₃ = 18817/10864 = 1.73205081...
• a₄ = 708158977/408855776 = 1.732050807568877295...

Tháng 12 năm trước đó, độ quý hiếm của √3 vẫn được xem cho tới tối thiểu chục tỉ chữ số thập phân.^[1]

Xấp xỉ hữu tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Phân số 97/56 (1732142857…) hoàn toàn có thể được sử dụng thực hiện xấp xỉ mang đến căn bậc nhì của 3. Tuy chỉ mất khuôn số 56, nó chỉ cách quãng độ quý hiếm chính thấp hơn 1/10,000 (khoảng 92×10⁻⁵). Giá trị thực hiện tròn trĩnh 1.732 chính cho tới 99.99% độ quý hiếm thực.

Archimedes xác minh rằng (1351/780)²
> 3 > (265/153)²
,^[2] theo lần lượt với sai số là 1/608400 (sáu chữ số thập phân) và 2/23409 (bốn chữ số thập phân).

Liên phân số[sửa | sửa mã nguồn]

√3 hoàn toàn có thể được màn trình diễn vày phân số liên tiếp [1;1,2,1,2,1,2,1,…] (dãy số A040001 nhập bảng OEIS), tức là

Theo đặc điểm của liên phân số thì nếu

thì Khi n 🡒 ∞

Ngoài rời khỏi cũng hoàn toàn có thể biễu biểu diễn bên dưới dạng liên phân số tổng quát mắng như

Xem thêm: chỉnh chu hay chỉn chu

thực hóa học là [1;1,2,1,2,1,2,1,…] tính nhì số hạng đồng thời.

Biểu biểu diễn bình phương[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu thức bình phương lồng nhau sau tiến bộ về √3:

Chứng minh tính vô tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Chứng minh vày lùi vô hạn[sửa | sửa mã nguồn]

Chứng minh thông thường được sử dụng mang đến tính vô tỉ của √3 dùng cách thức lùi vô hạn của Fermat. Phương pháp này hoàn toàn có thể được vận dụng mang đến bất kì số vẹn toàn nào là ko nên là số chủ yếu phương.

1. Giả sử √3 là một vài hữu tỉ, tức √3 hoàn toàn có thể viết lách bên dưới dạng một phân số tối giản a/b, nhập tê liệt a và b thành phần cùng với nhau.
2. Ta suy rời khỏi a²/b² = 3 hoặc a² = 3b².   (a² và b² là những số nguyên)
3. Do tê liệt a² phân tách không còn mang đến 3, nên a cũng phân tách không còn mang đến 3, tức tồn bên trên số vẹn toàn k sao mang đến a = 3k.
4. Thay 3k mang đến a nhập đẳng thức ở bước 2: 3b² = (3k)² tớ được b² = 3k².
5. Lập luận như bước 3, tớ được b² là số phân tách không còn mang đến 3, nên b cũng phân tách không còn mang đến 3.
6. Như vậy cả a và b đều phân tách không còn mang đến 3, nên bọn chúng với cùng một ước cộng đồng là 3, trái ngược với fake thiết rằng a và b là nhì số thành phần cùng với nhau.

Chứng minh vày tấp tểnh lý nghiệm hữu tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Một chứng tỏ không giống mang đến tính vô tỉ của √3 là dùng một tình huống đặc biệt quan trọng của tấp tểnh lý nghiệm hữu tỉ, tuyên bố rằng nếu như P(x) là một trong nhiều thức monic (tức nhiều thức với thông số bậc tối đa vày 1) với thông số vẹn toàn, thì bất kì nghiệm hữu tỉ nào là của P(x) cũng chính là một vài vẹn toàn. sát dụng tấp tểnh lý mang đến nhiều thức P(x) = x² − 2, tớ suy rời khỏi √3 hoặc là số vẹn toàn hoặc là số vô tỉ. Vì 1 < √3 < 2 nên nó ko là một vài vẹn toàn, vì thế √3 là một vài vô tỉ.

Hình học tập và lượng giác[sửa | sửa mã nguồn]

√3 là chừng lâu năm cạnh của một tam giác đều nội tiếp đàng tròn trĩnh với nửa đường kính vày 1. Tương tự động, nếu như một tam giác đều sở hữu cạnh 1 bị chia thành nhì nửa đều nhau, từng nửa là một trong tam giác vuông 30-60-90 với cạnh huyền vày 1, cạnh góc vuông là 1/2 và √3/2. Từ tê liệt tớ suy rời khỏi giá tốt trị những hàm con số giác của 60° và 30°.

Căn bậc nhì của 3 cũng xuất hiện nay nhập biểu thức đại số của rất nhiều hằng con số giác như^[3]

Ngoài rời khỏi √3 còn là một khoảng cách đằm thắm nhì cạnh đối nhau của hình lục giác đều sở hữu cạnh 1, Hoặc là đàng chéo cánh của hình lập phương đơn vị chức năng.

Ứng dụng khác[sửa | sửa mã nguồn]

Kỹ thuật điện[sửa | sửa mã nguồn]

Trong năng lượng điện lực, hiệu năng lượng điện thế đằm thắm nhì thừng trộn (điện áp dây) nhập khối hệ thống năng lượng điện tía trộn vày √3 nhân hiệu năng lượng điện thế của đằm thắm một thừng trộn và thừng hòa hợp (điện áp pha). Đây là vì nhì trộn xa nhau chừng 120°, và nhì điểm xa nhau chừng 120 chừng bên trên đàng tròn trĩnh thì với khoảng cách vày √3 nhân nửa đường kính đàng tròn trĩnh tê liệt.

Xem thêm: zno + naoh

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

• Căn bậc nhì của 2
• Căn bậc nhì của 5

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

• S., D.; Jones, M. F. (1968). “22900D approximations đồ sộ the square roots of the primes less than thở 100”. Mathematics of Computation. 22 (101): 234–235. doi:10.2307/2004806. JSTOR 2004806.
• Uhler, H. S. (1951). “Approximations exceeding 1300 decimals for √3, 1/√3, sin(π/3) and distribution of digits in them”. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 37 (7): 443–447. doi:10.1073/pnas.37.7.443. PMC 1063398. PMID 16578382.
• Wells, D. (1997). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers . London: Penguin Group. tr. 23.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

• Theodorus' Constant bên trên MathWorld
• [1] Kevin Brown
• [2] E. B. Davis