Cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức

Tìm giá chỉ ganh lớn số 1 (GTLN) và độ quý hiếm nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức (biểu thức chứa chấp vệt căn, biểu thức chứa chấp vệt độ quý hiếm vô cùng,...) là 1 trong trong mỗi dạng toán lớp 9 có khá nhiều bài bác kha khá khó khăn và yên cầu kỹ năng và kiến thức áp dụng linh động trong những câu hỏi.

Bạn đang xem: cách tìm giá trị nhỏ nhất

Bài viết lách này tiếp tục share với những em một vài cơ hội dò thám độ quý hiếm lớn số 1 (GTLN, Max) và độ quý hiếm nhỏ nhất (GTNN, Min) của biểu thức (biểu thức đại số chứa chấp vệt căn, chứa chấp vệt độ quý hiếm vô cùng,...) qua quýt một vài bài bác tập dượt minh họa rõ ràng.

* Cách dò thám độ quý hiếm lớn số 1, độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức đại số:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến đổi số)

- Muốn dò thám độ quý hiếm lớn số 1 hoặc độ quý hiếm nhỏ nhất của một biểu thức tao hoàn toàn có thể chuyển đổi biểu thức trở thành dạng: A²(x) + const ;(A biểu thức theo đòi x, const = hằng số).

* Ví dụ 1: Cho biểu thức: A = x² + 2x - 3.

Tìm GTNN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A = x² + 2x - 3 = x² + 2x + 1 - 1 - 3 = (x + 1)² - 4

- Vì (x + 1)² ≥ 0 ⇒ (x + 1)² - 4 ≥ -4

⇒ A ≥ - 4 vệt vì như thế xẩy ra, tức A = - 4 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1

- Kết luận: A_min = -4 Lúc và chỉ khi x = -1.

* Ví dụ 2: Cho biểu thức: A = -x² + 6x - 5.

Tìm GTLN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A = -x² + 6x - 5 = -x² + 6x - 9 + 9 - 5 = -(x - 3)² + 4 = 4 - (x - 3)²

- Vì (x - 3)² ≥ 0 ⇒ -(x - 3)² ≤ 0 ⇒ 4 - (x - 3)² ≤ 4

⇒ A ≤ 4 vệt vì như thế xẩy ra, tức A = 4 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

- Kết luận: A_max = 4 Lúc và chỉ khi x = 3.

* Ví dụ 3: Cho biểu thức:

$small A=frac{1}{x^2+2x+5}$

- Tìm x nhằm A_max; tính A_max =?

° Lời giải:

- Để A đạt gía trị lớn số 1 thì biểu thức (x² + 2x + 5) đạt độ quý hiếm nhỏ nhất.

- Ta có: x² + 2x + 5 = x² + 2x + 1 + 4 = (x + 1)² + 4

- Vì (x + 1)² ≥ 0 nên (x + 1)² + 4 ≥ 4

dấu "=" xảy ra khi và chỉ Lúc x + 1 = 0 ⇔ x = -1

Vậy $small Min_{(x^2+2x+5)}=4Leftrightarrow x=-1$

$small Rightarrow Max_{A}=frac{1}{4}Leftrightarrow x=-1$

Hay học hỏi và chia sẻ dn1

* Cách dò thám độ quý hiếm lớn số 1, độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức chứa chấp vệt căn:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến đổi số)

- Cũng tương tự động như cơ hội dò thám ở cách thức bên trên, áp dụng đặc thù của biểu thức ko âm như:

$small sqrt{-A^{2}(x)+b}le sqrt{b}; extrm{ }(0le b)$ hoặc $small sqrt{b}lesqrt{A^{2}(x)+b}; extrm{ }(0le b)$

- Dấu "=" xẩy ra Lúc A = 0.

* Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức:

$small A = 9+sqrt{2x^2-4x+5}$

° Lời giải:

- Ta thấy: $sqrt{2x^2-4x+5}=small sqrt{(2x^2-4x+2)+3}$

$small =sqrt{2(x^2-2x+1)+3}=sqrt{2(x-1)^2+3}$

Vì (x - 1)² ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)² ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)² + 3 ≥ 3

nên $small Rightarrow sqrt{2(x-1)^2+3}>=sqrt{3}$ dấu "=" xẩy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

$small Rightarrow A_{min}=9+sqrt{3}Leftrightarrow x=1$

* Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức:

$small A=sqrt{-3x^2+6x+2}$

° Lời giải:

- Ta có: $A=\sqrt{-3x^2+6x+2}=\sqrt{(-3x^2+6x-3)+3+2}$

$small =sqrt{-3(x^2-2x+1)+5}=sqrt{-3(x-1)^2+5}$

Vì (x - 1)² ≥ 0 ⇒ -3(x - 1)² ≤ 0 ⇒ -3(x - 1)² + 5 ≤ 5

nên $small Rightarrow sqrt{-3(x-1)^2+5}lesqrt{5}$ dấu "=" xẩy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

$small Rightarrow A_{max}=sqrt{5}Leftrightarrow x=1$

* Ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức:

$small A=sqrt{x^2+y^2-2xy+2x-2y+7}+2y^2-8y+2020$

° Lời giải:

- Ta có: $small sqrt{(x^2+y^2-2xy)+(2x-2y)+7}+2y^2-8y+2020$

Xem thêm: v cầu

$small =sqrt{(x-y)^2+2(x-y)+7}+(2y^2-8y+8)+2012$

$small =sqrt{[(x-y)^2+2(x-y)+1]+6}+2(y^2-4y+4)+2012$

$small =sqrt{[(x-y)+1]^2+6}+2(y-2)^2+2012$

small Rightarrow A>=sqrt{6}+2012 nên độ quý hiếm nhỏ nhất của B là small 2012+sqrt{6} đạt được khi:

$small left{egin{matrix} x-y+1=0\ y-2=0 end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} x= 1\ y=2 end{matrix} ight.$

* Ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức:

$small dpi{100} small A=frac{1}{x-sqrt{x}+2}$

° Lời giải:

- Điều kiện: x≥0

- Để A đạt độ quý hiếm lớn số 1 thì small x-sqrt{x}+2 đạt độ quý hiếm nhỏ nhất

- Ta có: $small x-sqrt{2}+2=left (sqrt{x} ight )^2-2.frac{1}{2}sqrt{x}+frac{1}{4}-frac{1}{4}+2$

$small =left ( sqrt{x} -frac{1}{2} ight )^2+frac{7}{4}$

Lại có: $small left ( sqrt{x} -frac{1}{2} ight )^2>=0,forall x>=0$ $small Rightarrow left ( sqrt{x} -frac{1}{2} ight )^2+frac{7}{4}>=frac{7}{4},forall x>=0$

Dấu"=" xẩy ra khi $small sqrt{x}-frac{1}{2}=0Leftrightarrow x=frac{1}{4}$

$\small \Rightarrow Min(x-\sqrt{x}+2)=\frac{7}{4}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

$\small \Rightarrow MaxA=\frac{4}{7}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

- Kết luận: GTLN của A = 4/7 Lúc x = 1/4.

* Cách dò thám độ quý hiếm lớn số 1, độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức chứa chấp vệt độ quý hiếm tuyệt đối:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến đổi số)

- Bài toán này cũng hầu hết phụ thuộc vào tính ko âm của trị vô cùng.

* Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức: small A=5-|2x-2|

° Lời giải:

- Ta có: |2x - 2| ≥ 0 ⇔ -|2x - 2| ≤ 0 ⇔ 5 -|2x - 2| ≤ 5

Dấu "=" xẩy ra Lúc |2x - 2| = 0 ⇔ 2x - 2 = 0 ⇔ x = 1

Vậy A_max = 5 ⇔ x = 1

* Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = |9 - x| - 3

° Lời giải:

- Ta có: |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| - 3 ≥ -3

Dấu "=" xẩy ra Lúc |9 - x| = 0 ⇔ 9 - x = 0 ⇔ x = 9

Vậy A_min = -3 ⇔ x = 9

Như vậy, những câu hỏi bên trên dựa vào những chuyển đổi về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức ko âm (bình phương, trị vô cùng,...) và hằng số nhằm dò thám rời khỏi tiếng giải.

Thực tế, còn nhiều câu hỏi nên dùng bất đẳng thức Cauchy (Cosi) cho tới nhì số a, b ko âm: small a+b>=2sqrt{ab} (Dấu "=" xẩy ra Lúc a =b) hay vận dụng bất đẳng thức chứa chấp vệt độ quý hiếm tuyệt đối: small |a|+|b|>=|a+b| (dấu "=" xẩy ra Lúc và chỉ Lúc a.b≥ 0); small |a-b|le|a|+|b| , (dấu "=" xẩy ra Lúc và chỉ Lúc a.b≤ 0).

* Ví dụ 1: Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức:

$small M=frac{a}{b}+frac{b}{a}, extrm{ }forall a,b>0$

° Lời giải:

- Vì a,b>0 nên $small frac{a}{b}>0; extrm{ }frac{b}{a}>0$

- kề dụng bất đẳng thức Cauchy (còn gọi là bất đẳng thức đối chiếu thân ái tầm nằm trong và tầm nhân AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means)).

$small frac{a}{b}+frac{b}{a}>=2sqrt{frac{a}{b}.frac{b}{a}}=2$

Dấu "=" xẩy ra khi $small frac{a}{b}=frac{b}{a}Leftrightarrow a=b$

- Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của M = 2 ⇔ a = b.

* Ví dụ 2: Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức:

$small M=a+frac{1}{a-1}, extrm{ }forall a>1$

° Lời giải:

- Vì a > 1 nên a - 1 > 0 tao có:

$small a+frac{1}{a-1}=a-1+frac{1}{a-1}+1$ (Áp dụng bất đẳng thức Cauchy tao được)

$small a-1+frac{1}{a-1}+1>=2sqrt{(a-1)left ( frac{1}{a-1} ight )}+1=2+1=3$

Dấu "=" xẩy ra khi $small a-1=frac{1}{a-1}Leftrightarrow (a-1)^2=1Leftrightarrow Leftrightarrow left [egin{matrix} a=2\ a=0 end{matrix} ight.$

Đối chiếu ĐK a > 1 nên có thể nhận a = 2; loại a = 0.

- Kết luận: GTNN của M = 3 ⇔ a = 2.

Hy vọng với nội dung bài viết Cách dò thám độ quý hiếm lớn số 1 (GTLN, Max) và độ quý hiếm nhỏ nhất (GTNN, Min) của biểu thức ở bên trên gom những em làm rõ rộng lớn về dạng toán này.

Việc áp dụng vào cụ thể từng câu hỏi yên cầu kĩ năng thực hiện toán của những em, kĩ năng này còn có được Lúc những em chịu khó rèn luyện trải qua nhiều bài bác tập dượt. Mọi gom ý và vướng mắc những em hãy nhằm lại đánh giá bên dưới nội dung bài viết để $\small hayhochoi.vn$ ghi nhận và tương hỗ, chúc những em học tập đảm bảo chất lượng.